Euler ve Ptolemy Teoremlerinin Uygulaması {çözüldü}

[MATSEVER 27]

Bir $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{B})=71^\circ, m(\widehat{D})=109^\circ,$ $│AB│+│DC│= 15, │BD│+│AC│= 12, │DA│+│BC│= \sqrt{43}$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Bu çokgenin köşegenlerinin orta noktalarını birleştirelim. Oluşan bu doğru parçasının uzunluğu kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Cevap: $\sqrt{31}$

$ABCD$ bir kirişler dörtgenidir. $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$, $|DA|=d$, $|BD|=e$, $|AC|=f$ dersek Ptolemy teoreminden $ef = ac + bd$ bağıntısı vardır. Köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklığa $x$ dersek, Euler'in dörtgen teoreminden $e^2+f^2+4x^2=a^2+b^2+c^2+d^2$ yazılır. Verilen $a+c=15$, $b+d=\sqrt{43}$, $e+f=12$ eşitliklerinin karelerini alıp dörtgen teoreminde yerine yazarsak $x=\sqrt{31}$ bulunur.