35 Sayı {Çözüldü}

[senior]

Elimizde 35 adet doğal sayı var: a₁, a₂, ... a₃₅. Bu sayıları bir dizi gibi düşünelim. Diziyi rastgele iki yerden keserek bir alt dizi oluşturabiliriz. Mesela a₃, a₄, a₅ veya sadece a₂₀, veya dizinin hepsi.

Bu sayıların en az bir "ardıışık alt dizisi"nin elemanları toplamının toplamının 35 ile bölünebildiğini gösterin. Yani a_l + a_l+1 + a_l+2 ... a_l+k 35 ile bölünebilir şekilde l ve k sayıları bulabileceğimizi gösteriniz. (l > 0, k > 0, l+k < 35)

[çılgın]

$S_i = a_1+a_2+...+a_i$ olsun, eğer $S_i\equiv S_j \pmod {35}$ olacak biçimde $(0<i<j<36)$ var ise $35|S_j-S_i$, yani $35|a_{i+1} + \cdots + a_j$ olur. Eğer böyle $i$ ve $j$ yok ise $S_1, S_2, ..., S_{35}$ sayılarının tümü $\mod 35$ te farklı kalan bırakmalıdır. Bu da $S$ lerden birinin $\mod 35$ te $0$ a' denk olmasını gerektirir.