Menelaus

[geo]

$BC$ ve $AC$ doğruları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $E$ den $BC$ ye çizilen paralel $AD$ yi $F$ de, $D$ den $AC$ ye çizilen paralel $BE$ yi $G$ de kesiyor. $FG$ nin $AB$ ye paralel olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Menelaus teoreminden   $\dfrac{BD}{BC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AL}{LD}=1$ dir.  $DG \parallel EC$ olduğu için  $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BG}{BE}$  dir.  Ayrıca $EF \parallel CD$  olduğu için  $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{DF}{FA}$  dır.  Bu iki eşitliği Menelausta yerine yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{BD}{BC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AL}{LD}=\dfrac{BG}{BE}\cdot\dfrac{DF}{FA}\cdot\dfrac{AL}{LD}=1$

$\Longrightarrow \dfrac{BG}{FA}=\dfrac{BE}{DF}\cdot\dfrac{LD}{AL}$

Aynı zamanda $EF \parallel DB$  olduğu için  $\dfrac{BL}{DL}=\dfrac{BE}{DF}$  dir.  Bunu son eşitlikte yerine yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{BG}{FA}=\dfrac{BE}{DF}\cdot\dfrac{LD}{AL}=\dfrac{BL}{DL}\cdot\dfrac{LD}{AL}=\dfrac{BL}{AL}$

$\Longrightarrow \dfrac{BG}{BL}=\dfrac{AF}{AL}$

Bu da zaten $FG \parallel AB$ demektir. İspat biter.