Gönderen Konu: yükseklik-3 {çözüldü}  (Okunma sayısı 1627 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
yükseklik-3 {çözüldü}
« : Mart 03, 2015, 04:31:07 ös »
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A$, $B$, $C$ köşelerine ait yükseklik ayakları sırasıyla, $D$, $E$, $F$ dir. $|DF|=13$, $|DE|=14$, $|EF|=15$ ise, $ABC$ üçgeninin alanı nedir?

(Lokman GÖKÇE)
« Son Düzenleme: Mayıs 09, 2017, 03:43:23 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Abdullah_71

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 106
  • Karma: +0/-0
Ynt: yükseklik-3
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2015, 03:02:47 ös »
" Yükseklik-4 " isimli soruda olduğu gibi büyük üçgendeki diklik merkezi , küçük üçgen için iç açıortayların kesim noktasıdır ve açılar yerlerine yazılır.DEF üçgeninde iç açıortaylardan yararlanarak m(DFE)'e ait açıortay [DE] kenarını G noktasında kessin ve [FG] ile [BE] de L noktasında kesişsin.Açıortay formüllerinden yararlanarak IFGI=(3/2).kök65 olarak bulunur ve IFLI=kök65 , ILGI=(kök65)/2 olarak bulunur.
Yine açıortay formülünden yararlanarak , IELI=4kök5 olarak bulunur.

m(BFC)=m(BEC)=90 olduğu için BFEC'den geçen çember çizilir ve açılar yerlerine yazılır ve diğer dikmeler içinde yapılır ve açılar yerlerine yazılır. m(ABE)=m(FCA)=m(FDE)=m(ADE) olduğu görülür yine aynı şekilde diğer açılarda yazılır ise FLE üçgeni ile BDE üçgeninin benzer olduğu görülür ve oranlar yazılırsa IBDI=(7/2).kök13 olarak bulunur yine aynı şekilde IBEI=(21/2).kök5 olarak bulunur.

m(EFC)=m(DAC) eşit olduğundan dolayı bu açıya ait kosinüs ve sinüs değeleri bulunur ve FLE üçgeninde kosinüs teoremi yazılırsa;

cos(m(EFC))=7/(kök65) bulunur ve tan(m(EFC))=4/7 olarak bulunur.Bu değerleri BEC üçgeninde yazacak olursak ;

cos(m(EBC))=cos(m(EFC))=IBEI/IBCI olur ve IDCI=4kök13 olarak bulunur ve DAC üçgeninde ise tan(m(DAC))=4/7 olduğu için faydalanacak olursak , IADI=7kök13 olarak bulunur ve ABC üçgenine ait kenar ve yükseklik bulunur.

A(ABC)=IADI.IBCI/2=7.15.13/4 olur ya da (13.14.15/8) şeklinde de yazılabilir.
« Son Düzenleme: Nisan 26, 2015, 03:04:49 ös Gönderen: Abdullah_71 »

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Ynt: yükseklik-3
« Yanıtla #2 : Ağustos 26, 2015, 09:22:50 ös »
Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler ve $R$ çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere, $2\dot A(ABC) = R \cdot Ç(DEF)$ bağıntısı geçerlidir.
Ayrıca $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $DEF$ (ortik) üçgeninin çevrel çember yarıçapının iki katıdır.
$R_{o}$ : ortik üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı.

Buna göre; $ 2 \dot A(ABC) = 2R_{o} \dot (13+14+15) \Rightarrow A(ABC) = 42R_{o}$ olur.

$A(DEF) = \dfrac{13.14.15}{4R_{o}}=\sqrt{21.8.7.6} \Rightarrow R_{o}=\dfrac{65}{8}$ dir.

Buradan $A(ABC)=42.\dfrac{65}{8}$ bulunur.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: yükseklik-3 {çözüldü}
« Yanıtla #3 : Ağustos 02, 2019, 01:19:15 öö »
Farklı bir çözüm daha verelim:

$Alan(ABC)=Alan(DEF) + Alan(EFA)+ Alan(DFB) + Alan(DEC)$ dir. Kenar uzunlukları $13, 14, 15$ olan $DEF$ ortik üçgeninin alanını heron formülü ile $84$ bulabiliriz.

Şimdi $AEF$ üçgeninin alanını bulalım. $A$ noktası $DEF$ üçgeni için bir dış teğet çember yarıçapıdır. Bunu $r_d$ ile gösterelim. Ayrıca $DEF$ üçgeninin çevresi $2u=13+14+15=42$ olup $u=21$ dir.  $Alan(DEF)=(u-15)r_d=6r_d$ eşitliğinden $r_d=14$ tür. Yani $A$ noktasından $EF$ doğrusuna inen dikmenin uzunluğu $14$ olur. $Alan(EFA)=\dfrac{15\cdot 14}{2}=105$ bulunur.

Benzer biçimde $Alan(DFB)$ ve $Alan(DEC)$ hesaplanabilir... 
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal