dizi

[NazifYILMAZ]

n doğal sayı  5<n  a(n) = 2n+(k-5n )/n    n=1,2,..., [k / 5 ] , [ k / 5 ] + 1  dizisinin minimum nokta ve minimum değeri nedir?

[Lokman Gökçe]

sorunun orijinal metnini (varsa) verebilirseniz sevinirim. Sorunun ifadesinde sıkıntı var gibi. hem $5<n$ olacak hem de $n=1,2,3,4$ değerlerini dizide nasıl yazacağız? Soruyu tam olarak anlayamamış olabilirim ama anladığım çözeyim:

Öncelikle $a_n=2n+\dfrac{k}{n}-5$ şeklinde yazalım. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $n+n+\dfrac{k}{2n}+\dfrac{k}{2n}\geq 4\sqrt[4]{n \cdot n \cdot \dfrac{k}{2n} \cdot \dfrac{k}{2n}}$ olduğundan $a_n \geq 2\sqrt{2k}-5$ tir. O halde $k$ yı ne kadar küçük seçersek minimum değeri de o kadar küçütlmiş olacağız. Ortalama eşitsizliğinde, eşitlik halinin sağlanabilmesi için gerekli ve yeterli şart  $n=\dfrac{k}{2n}$ olmasıdır. Bu ise $k=2n^2$ demektir. $n>5$ verildiğinden en az $n=6$ seçebiliriz ve bu halde $k$ için en az $k=72$ değeri verilebileceğini anlarız. Bu durumda $a_6=2\sqrt{2\cdot72}-5=19$ minimum değerdir. Bu minimum değer $n=6$ noktasında elde edilir.

[NazifYILMAZ]

...

[Lokman Gökçe]

Şimdi tekrar soruyu ele alabiliriz. Yukarıda yaptığımız çözüme çok benzer işlemler yapacağız.

Öncelikle $x_k=2k+\dfrac{n}{k}-5$ şeklinde yazalım. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $k+k+\dfrac{n}{2k}+\dfrac{n}{2k}\geq 4\sqrt[4]{k \cdot k \cdot \dfrac{n}{2k} \cdot \dfrac{n}{2k}}$ olduğundan $x_k \geq 2\sqrt{2n}-5$ tir. Ortalama eşitsizliğinde, eşitlik halinin sağlanabilmesi için gerekli ve yeterli şart  $k=\dfrac{n}{2k}$ olmasıdır. Bu ise $n=2k^2$ veya $k=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ demektir. Elbette $n$ nin bazı değerlerinde $k=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ bir tamsayı olmayacaktır. Bu durumda $k$ yı, $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ reel sayısına en yakın tamsayı olarak seçmeliyiz. Bir $x$ gerçel sayısına en yakın tamsayıyı $\left[x \right]$ ile gösteriyoruz. (bkz: http://en.wikipedia.org/wiki/Nearest_integer_function). Dolayısıyla $k=\left[ \sqrt{\dfrac{n}{2}} \right]$ seçerek minimum değeri elde ederiz. Bu halde minimum değer $2\left[ \sqrt{\dfrac{n}{2}} \right] + \dfrac{n}{\left[ \sqrt{\dfrac{n}{2}} \right]}-5$ olur.