$a_1$

[mehmetutku]

$a_1 , a_2, a_3, a_4 , a_5$ gerçel sayılarından herhangi ikisi arasındaki fark $1$ den az değildir. Bir  $k$  gerçel sayısı için;

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k$    ve    $a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2+a_{4}^2+a_{5}^2=2k^2$   eşitlikleri sağlanıyorsa    $k^2 \ge \dfrac{25}{3}$ olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Genelliği bozmaksızın $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$ olduğunu kabul edelim.


$T=(a_{1}-a_{2})^2+(a_{1}-a_{3})^2+(a_{1}-a_{4})^2+\cdots+(a_{4}-a_{5})^2$ ifadesini gözönüne alalım. Her $i$ için $|{a_{i+1}-a_{i}}|\geq 1$ olduğundan $T \geq  50 \dots (1) $ olur.

$T=4(a_{1}^2+\cdots+a_{5}^2)-2(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\cdots +a_{4}a_{5}) \dots (2)$ dir.

$(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2=4k^2$ eşitliğinden $a_{1}^2+\cdots + a_{5}^2+2(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\cdots +a_{4}a_{5})=4k^2$ dir. $a_{1}^2+\cdots+a_{5}^2=2k^2$ verildiğinden $a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\cdots +a_{4}a_{5}=k^2 \dots (3)$ elde edilir.

$(2)$ ve $(3)$ den $T=6k^2 ...(4)$ olur. $(1)$ ve $(4)$ den $k^2 \geq \dfrac{25}{3}$ bulunur.