Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 23

[Egemen]

$2x^2-4xy+5y^2=4x+2y-5$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

$2x^2-4xy+5y^2=4x+2y-5 \Longrightarrow (x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)+(x^2+4xy+4y^2)=0 \Longrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(x+2y)^2=0$
Tamkarelerin toplamının $0$ olması, her birinin $0$ olmasıyla mümkündür.
O halde $x=-2, y=1, x=-2y$ olmalıdır ve üç eşitlik de sağlandığından eşitliği sağlayan $(-2,1)$ olmak üzere bir tane $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır.

[idensu]

$(x-2)^2$ ve $(x-2y)^2$ olacak $x=2$, $y=1$ sağlar.