$26$'dan küçük asallar $2,3,5,7,11,13,17,19,23$'dür. $M$ kümesindeki her elemanı $i=1,2,\dots,1985$ için $a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i,k_i,l_i,m_i\geq 0$ olmak üzere $2^{a_i}\cdot 3^{b_i}\cdots 23^{m_i}$ olarak düşünebiliriz. Yani aslında her sayıyı $(a_i,b_i,\dots,m_i)$ $9$'lusu olarak kodlayabiliriz. Dört tane sayının çarpımının bir sayının dördüncü kuvveti olması da $a_i,b_i,\dots$ kuvvetlerinin her birinin toplamının $4$'e bölünmesi demektir.
Öncelikle çarpımı tamkare olan ikilileri inceleyelim. $2^9=512$ adet olası parite vardır (her terim için iki olasılık). Eğer kümedeki eleman sayısı $512$'den fazlaysa güvercin yuvası ilkesinden, çarpımları tamkare olan bir ikili bulabiliriz. Kümeden çarpımları tamkare olan ikilileri çıkarıp, kalan elemanların sayısı $512$'den fazlaysa yeni bir ikili çıkaralım ve bu şekilde ilerleyelim. $$1985-2t>512\implies t<736.5$$ olduğundan en az $736$ adet ikili seçebiliriz. Bu ikililerin çarpımları tamkare olduğundan (her terimi tamkare), $x$ ve $y$ ikilisi yerine $xy=s^2$ olmak üzere $s$'yi değerlendirelim. Bu $s$'lerden $736$ tane olduğundan, yani $512$'den fazla olduğundan güvercin yuvası ilkesi gereği çarpımı tamkare olan iki tane eleman vardır. Bunlar $s_1$ ve $s_2$ olsun. Bunları elde ettiğimiz ikililer de $x,y$ ile $a,b$ olsun. Yani $xy=s_1^2$ ve $ab=s_2^2$ olacaktır. $s_1s_2$ tamkare olduğundan $$xyab=(s_1s_2)^2$$ bir tamsayının dördüncü kuvveti olacaktır.
