Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 18

[Lokman Gökçe]

$|AB|=6$ $|AC|=8$, $|BC|=10$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ ya ait yüksekliğin ayağı $H$ ve $[BC]$ nin orta noktası $D$ dir. $AHD$ üçgeninin çevrel çemberinin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını ikinci kez kestiği noktalar sırasıyla, $E$ ve $F$ ise, $HEFD$ dörtgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{234}{25}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{192}{25}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{172}{25}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{134}{25}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{B}$

$BAC$ üçgeni dik üçgendir.  Öklid uygulanırsa $|BH|=3,6$  ve $|HC|=6,4$  ve $|AH|=4,8$ bulunur. $D$ orta nokta olduğundan $|BD|=|DC|=5$ tir. Dolayısıyla $|HD|=1,4$ tür. $AHD$ üçgeninin çevrel çemberi çizildiğinde çember $|AB|$ yi $E$ de ve $|AC|$ yi $F$ de kesiyorsa $\angle DEA = 90^\circ$ ve $\angle DFA = 90^\circ$ dir. Buradan $ED // AC$ ve $DF // AB$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. $D$, $|BC|$ nin orta noktası olduğundan $|BE|=|EA|=3$ ve $|AF|=|FC|=4$ bulunur. Buradan da $EF // BC$ olduğunu görürüz. $|EF|=5$ tir. $|AH|$ ve $|EF|$ nin kesişim noktası $G$ olsun. O zaman  $|HG|=|GA|=2,4$ olur. Ve ayrıca $HEFD$ bir yamuktur. $|HG|$ bu yamuğun yüksekliği olduğu için artık yamuğun alanını hesaplayabiliriz. $A(HEFD)=\dfrac{(2,4).((1,4) + 5)}{2}=\dfrac{192}{25}$ bulunur.