Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 16

[Lokman Gökçe]

Bir tahtaya yanyana $n$ tane hepsi birbirinin aynı olmayan pozitif tam sayı yazılmıştır. Sonuncu dışında, her sayı ile sağındaki sayının toplamı $1000$ ediyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[mustafaemir]

Yanıt : $\boxed{D}$

Her sayı ile sağdaki sayının 3 katının toplamı $1000$ ediyor. Yazım hatası olmuş sanırım, orjinal soruda öyle yazıyor.

$7$ sayı için örnek $979,7,331,223,259,247,251$.

En az $8$ sayı olsun. Sondan $8$ sayı $x_{1},x_{2},\cdots,x_{8}$ olsun.

$x_{7}=1000-3x_{8}\equiv 1-0\equiv 1\pmod{3}$
$x_{6}=1000-3x_{7}\equiv 1-3\equiv 7\pmod{9}$
$x_{5}=1000-3x_{6}\equiv 1-21\equiv 7\pmod{27}$
$x_{4}=1000-3x_{5}\equiv 28-21\equiv 7\pmod{81}$
$x_{3}=1000-3x_{4}\equiv 28-21\equiv 7\pmod{243}$
$x_{2}=1000-3x_{3}\equiv 271-21\equiv 250\pmod{729}$
$x_{1}=1000-3x_{2}\equiv 1000-750\equiv 250\pmod{2187}$

$x_{1}<1000$ ve $x_{1}\equiv 250\pmod{2187}$ olduğundan $x_{1}=250$ olur ve $x_{2}=250$ olur. Fakat sayıların farklı olması gerekiyordu. (Çelişki)