Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

$n^4+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $f(n)$ olmak üzere, $f(1)+f(2)+\cdots+f(2014)$ toplamının $8$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[osman211]

$n^4+1$ sayısını bölen en küçük asallar; eğer $n$ sayısı tek ise, $f(n)=2$ olması gerektiği açıktır.

Ancak sayı çift ise mertebe (order) kavramını kullanarak çözüme gidilebilir.

$n^4 \equiv -1 \pmod{f(n)}  \Rightarrow n^8 \equiv 1 \pmod{f(n)}$.

Buradan $f(n)$ mertebesi için $8 \mid f(n)-1$ diyebiliriz.

Buradan $f(n)=8k+1$ şeklinde olduğu ortaya çıkar.

Aradığımız asal sayıların yarısı tek, yarısı çift olduğu için sayı $f(2)+f(4)+ \cdots +f(2014) \equiv 1\cdot1007 \pmod 8$ olur.

$f(1)+f(3)+ \cdots + f(2013)=1007\cdot2$ dir.

Toplarsak $3 \cdot 1007 \equiv 5 \pmod{8}$ olur.

[Lokman Gökçe]

Yukarıdaki çözüme ilave olarak aşağıdaki açıklamayı vermemiz, anlaşılırlık açısından çok daha iyi olacaktır.

Ek Açıklama: $n$'nin çift sayı olduğu duruma bakıyoruz. $f(n) = p$ şeklinde bir tek asal sayıdır. Fermat teoreminden dolayı $n^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ yazılır. Ayrıca $n$'nin modülo $p$'deki mertebesi 8 olduğundan ve ''mertebe, 1'i veren pozitif tam kuvveti böler'' teoreminden dolayı $8\mid (p-1)$'dir. Dolayısıyla $p=8k+1$ formunda olup $f(n) = 8k+1$ yazılır.