Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

Kaç farklı $p$ asal sayısı için, $ p\mid n^3+3$ ve $p\mid n^5+5$ olacak biçimde bir $n$ tam sayısı bulnur?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[osman211]

n³=-3(modp) dersek   burdan   n⁵+5=0(modp) de yerine yazınca

3n²=5(modp) gelir  burdan  tekrar ilk bağlantıda yerine yazınca 5n=-9(modp) 


1. bağıntıyı 125 le çarparsak   (5n)³+125.3=0(modp)  ----> 5n=-9(modp) oldunu biliyoz

burdan 59.3.2=0(modp)   buluruz  p=2 ve p=59 sağlar ancak p=3 için bakarsak

n sayisi 3 ile bolunur  burdan diğer denklemde yerine yazınca bolunmez o yüzden p=3 sağlamaz

cevap P=2 ve P=59 dur

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

öklit algoritması kullanalım.

$(n^3+3 , n^5+5)$  birinciyi $n^2$ ile çarpalım ve çıkartalım

$(n^3+3 , 5-3n^2)$ birinciyi $3$ ile ikinciyi $n$ ile çarpalım ve toplayalım

$(5n+9 , 5-3n^2)$  birinciyi $3n$ ile ikinciyi $5$ ile çarpalım ve toplayalım

$(5n+9 , 27n+25)$ birinciyi $27$ ikinciyi $5$ ile çarpalım ve çıkartalım

$(118 , 135n+125)$ bulunur.

$118=2\cdot59$ olup $p=2$ ve $p=59$ için istenen sağlanır.

[geo]

$p \mid n^3 + 3 \Longrightarrow p \mid (n^3)^5 + 3^5$

$p \mid n^5 + 5 \Longrightarrow p \mid (n^5)^3 + 5^3$

$p \mid (n^{15} + 243) - (n^{15}+125) \Longrightarrow p \mid 118$

$(p,n)=(2,1)$ ve $(p,n)=(59,10)$ ikilileri verilen koşulu sağlar.

Kaynak: AoPS