Cevap: $\boxed{B}$
$165=3\cdot 5\cdot 11$ olduğundan denkliği $3$, $5$ ve $11$ modunda çözmeliyiz. $$y^2\equiv x^3+x\equiv x+x\equiv 2x\equiv -x\pmod{3}$$ olduğundan her $y$ değeri için tam olarak bir tane $x$ değeri gelecektir. Mod $3$'te $3$ tane çözüm vardır. Mod $5$ için $$y^2\equiv x(x^2+1)\pmod{5}$$ olduğundan $x\equiv 0,1,2,3,4$ için denersek sadece $x\equiv 0,2,3$ için çözüm geleceğini ve bu üç değer için de $y\equiv 0$ olduğunu görürüz. Mod $5$'te de $3$ tane çözüm vardır.
Mod $11$ için $x\equiv 0$ ise $y\equiv 0$'dır. $y\equiv 0$ başka bir $x$ değeri için elde edilemez çünkü $x^2+1\equiv 0$ olamaz. Şimdi mod $11$ için karekalan olan ve olmayan değerleri bulalım. $1,3,4,5,9$ kalanları karekalanken $2,6,7,8,10$ kalanları değildir. $y^2$ tanımı gereği karekalan olduğundan $x^3+x=x(x^2+1)$ de karekalan olmalıdır. Dolayısıyla $x$ karekalan ise $x^2+1$ de karekalandır fakat $x$ karekalan değilse $x^2+1$ de karekalan değildir. Bunu kullanarak $x$ değerlerini deneyebiliriz. $x\equiv 5,7,8,9,10$ kalanları istenilen şartları sağlar. Her biri için de $y\not\equiv 0$ olacağından $y$ ve $11-y$ olmak üzere $2$ çözüm gelecektir. $(0,0)$ çözümünü de katarsak $11$ çözüm elde edilir.
Çin kalan teoreminden mod $165$'de $3\cdot 3\cdot 11=99$ çözüm vardır.
