Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 35

[geo]

$a$, $b$ ve $c$, $a < b$ koşulunu sağlayan gerçel sayılar olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için, $ax^2 + bx + c \geq 0$ ise, $\dfrac {a + b + c}{b - a}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 5{\sqrt 3}
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {\sqrt 5}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {\sqrt 7}{2}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer $a=0$ ise her $x$ için $bx+c\geq 0$ olmasının tek yolu bu doğrunun eğimsiz olmasıdır. Yani $b=0$ olmalıdır fakat bu $a<b$ ile çelişir.

$a\neq 0$ ise

Eğer $ax^2+bx+c$ polinomunun farklı kökleri varsa polinom, bu iki kök arasında ve aralığın dışında farklı işaretli değerler alacaktır. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $\Delta=b^2-4ac\leq 0$ olmalıdır. Ayrıca bu durumda polinom her zaman başkatsayının işaretiyle aynı işaretli değerler alacağından $b>a>0$ olmalıdır. $c\geq \dfrac{b^2}{4a}$ yazarsak $$\dfrac{a+b+c}{b-a}\geq \dfrac{a+b+\frac{b^2}{4a}}{b-a}=\dfrac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}=\dfrac{(2a+b)^2}{4a(b-a)}$$ olacaktır. Eğer $b=a+k$ dersek, $a,k>0$ için $$\dfrac{(2a+b)^2}{4a(b-a)}=\dfrac{(3a+k)^2}{4ak}\geq_{AGO} \dfrac{(2\sqrt{3ak})^2}{4ak}=\boxed{3}$$ olacaktır. Eşitlik durumu $3a=k$ yani $b=4a$ ve $b^2=4ac$ iken sağlanır yani $t>0$ için $(a,b,c)=(t,4t,4t)$ eşitlik durumudur.