Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 34

[geo]

$n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için $5n^{11} -2n^5 -3n$ sayısını bölen kaç tane pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

[ArtOfMathSolving]

En az $24$ tane bulunabiliyor ,Yanıt:$\boxed{F}$

[Arman]

En az $24$ tane bulunabiliyor ,Yanıt:$\boxed{F}$

$24 $ çarpan $n=2$ durumu için , soruda bütün $ n $ değerleri için soruyor.

[ArtOfMathSolving]

$2,3,5\dots $ gibi değerler sağlıyor, daha büyük sayılarla bölünemeyeceğini nasıl gösterebiliriz? Örnek olarak$n=2$ birçok sayıyı sağlıyor,$n$yi asallarla sınırlasak bile,$n=4k+1$ gibi $k$nın değişik modlarda kalanlarını tek tek incelemek zorunda kalmaz mıyız?

[Arman]

$n=2 $ için ifade $10170 $ yani $2.3.3.5.113 $ oluyor yani sadece bu bölenleri incelesek yeter.
Bu tip bütün $n$'ler için sorulan sorularda $n=1 $ veya $2 $ gibi değerler vererek aradığımız şeyi kısıtlamak mantıklı bir yöntem.

[ArtOfMathSolving]

Evet haklısınız, mantıklı bir yöntem aklıma gelmemişti teşekkürler..

[geo]

$f(2)=5 \cdot 2^{11} - 2\cdot 2^5 - 3\cdot 2 = 5\cdot 2 \cdot 1024 - 64 - 6 = 10240 - 70 = 10170 = 2\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 113$.

O halde $2$, $9$, $5$, $113$ sayılarının $f(n)$ yi her zaman bölüp bölmediğini araştıracağız.

$f(n)$ nin çift sayı olduğu kolayca görülür.

Euler'den $n^5 \equiv n \pmod 5$ olduğu için $f(n) = 5n^{11} - 2n^5 - 3n \equiv -2n - 3n \equiv 0 \pmod 5$.

$n \equiv 0 \pmod 3$ iken $9 \mid f(n)$.
$n \equiv 1,2 \pmod 3$ iken $(n, 9) = 1$ ve Euler'den $n^{\varphi (9)} = n^6 \equiv 1 \pmod 9$ olacaktır. $f(n) = 5n^{11} - 2n^5 - 3n \equiv 5n^5 - 2n^5 - 3n \equiv 3n(n^4-1) \pmod 9 $ ve $n^4 \equiv 1 \pmod 3$ olduğu için $9 \mid f(n)$ dir.

$2$, $9$ ve $5$ her zaman bölen olduğu için cevabımız $113$'ün de bölen olup olmamasına göre $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ya da $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24$.

$24$ şıklarda yer almadığına göre cevabımız $\boxed {12}$.

$113$ ün bu tip bir sayıyı bölmesi biraz iddialı olurdu.
Yine de bölmediğini biraz işlemle ve karşıt bir örnekle gösterebiliriz:
$\begin{array}{lcll}
f(3) &=& 5\cdot 3^{11} - 2\cdot 3^5 - 3\cdot 3 & \pmod {113}\\
&\equiv& 5 \cdot 3^5 \cdot 3^5 \cdot 3 - 2 \cdot 3^5 - 9 & \pmod {113}\\
&\equiv& 17 \cdot (15\cdot 17 - 2) - 9 & \pmod {113}\\
&\equiv & 17 \cdot 27 - 9 & \pmod {113}\\
&\equiv & 450 & \pmod {113} \\
&\equiv & -2 & \pmod {113}
\end{array}$