Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 27

[geo]

İkisinde $1$, sekizinde $2$, on ikisinde $3$, dördünde $4$ ve beşinde $5$ yazılı otuz bir taştan otuzu herhangi iki satırdaki sayıların toplamı eşit ve herhangi iki sütundaki sayıların toplamı eşit olacak biçimde $5 \times  6$ bir satranç tahtasına yerleştirilmişse, kullanılmayan taştaki sayı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen $31$ tane taşın üzerindeki yazıların toplamı $95$'dir. Otuz tane taşı dizdikten sonra $k$ yazılı taş kullanılmasın. Satranç tahtası üzerindeki sayıların toplamı $95-k$ olacaktır. Her sütundaki sayıların toplamı sabit olduğundan ve $6$ tane sütun olduğundan $95-k$ sayısı $6$'ın katı olacaktır. Dolayısıyla $$95-k\equiv 0\pmod{6}\implies k\equiv 5\pmod{6}\implies k=5$$ Kullanılmayan taş $5$ yazılı taştır.

Not: Sütun sayısı $5$, satır sayısı $6$ olarak alıp çözmeye çalışırsak da cevap $5$ çıkacaktır.