Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 25

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısına ait iç açıortayın ayağı $D$ olmak üzere, $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktası, $|CE| = |CD|$ ve $|AE| = 6 \sqrt 5$; $[AB$ ışını üzerindeki $F$ noktası da, $|DB| = |BF|$ ve $|AB| < |AF| = 8 \sqrt 5$ koşullarını sağlıyorsa, $|AD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 10\sqrt 5
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 4 \sqrt{15}
\qquad\textbf{d)}\ 7\sqrt 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$\angle BAD = \angle DAC = \alpha$ ve $\angle AFD = \beta$ olsun.
Bu durumda, $\angle ABD = 2\beta$, $\angle BCA = 180^\circ - 2\alpha - 2\beta$, $\angle DEC = \alpha + \beta$, $\angle ADE = \beta$, yani $\triangle ADF \sim \triangle AED$ olacaktır.
$$\dfrac{AD}{AF} = \dfrac{AE}{AD} \Rightarrow AD^2 = AF \cdot AE \Rightarrow AD = 4 \sqrt {15}.$$

[geo]

$AC=b$, $AB=c$, $BD=n$, $DC=m$ olsun.
Açıortay Teoreminden bildiklerimizi $$\dfrac{b}{c} = \dfrac{m}{n} \tag{1}$$ $$AD^2 = bc-mn \tag{2}$$ birleştirirsek $$AD^2 = bc - mn + \underbrace{bn - cm}_{0} = b(c+n) -m(c+n) = (b-m)(c+n) \tag{3}$$ elde ederiz. Bu da $AD^2 = AE \cdot AF = 8\sqrt 5 \cdot 6\sqrt 5 \Rightarrow AD = 4\sqrt {15}$ anlamına gelmektedir.