Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 24

[geo]

$x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin küplerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ -6
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

Denklemin kökleri $a,b,c$ olsun. $a^3+b^3+c^3$ toplamını hesaplayacağız. $a^3=2a^2+a-1$ olur . Bunu $b$ ve $c$ için de yazıp toplarsak $a^3+b^3+c^3=2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)-3$ olur. Vieta teoreminden dolayı $a+b+c=2$ olur. Buradan $a^3+b^3+c^3=2(a^2+b^2+c^2)-1$ olur. $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$ özdeşliğini kullanalım. Yine vieta teoreminden $ab+bc+ac=-1$ bulunur. $a^2+b^2+c^2=2^2-2.(-1)=4+2=6$ olur. Bunu aradığımız ifadede yerine yazalım. $a^3+b^3+c^3=2.6-1=11$ olur. Cevap $D$.

Not:Denklemin üç kökünün de reel olduğuna dikkat ediniz.