Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$$\left ( x+1 \right )\left ( x+\dfrac{1}{4} \right )\left ( x+\dfrac{1}{2} \right )\left ( x+\dfrac{3}{4} \right )=\dfrac{45}{32}$$ denkleminin gerçel çözümlerini toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ -1
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{5}{4}
\qquad\textbf{e)}\ -\dfrac{7}{12}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{D}$

Birinci ile ikinci ve üçüncü ile dördüncü parantezlerin çarpımından, $\left (x^2+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{4} \right ) \left (x^2+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{3}{8} \right ) = \dfrac{45}{32}$ olur. $x^2+\dfrac{5}{4}x = a$ değişken değiştirmesi ile, $\left (a+\dfrac{1}{4} \right ) \left (a+\dfrac{3}{8} \right )=\dfrac{45}{32}$ yazılır ve bu denklemi düzenleyerek $16a^2+10a-21=0$ denklemine ulaşırız. Son denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım; $(8a-7)(2a+3)=0$ ifadesindeki herbir çarpanın sıfıra eşit olması durumunda köklerini inceleyelim. $x^2+\dfrac{5}{4}x-\dfrac{7}{8}=0$ ve $x^2+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{3}{2}=0$ denklemlerinin gerçel kökler toplamı ikinci denklemin diskriminantı sıfırdan küçük olduğundan birinci denklemden gelmektedir. Bu toplam $-\dfrac{5}{4}$ dür.