Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 29

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABCD$ karesinin sırasıyla $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üstünde alınan $M$ ve $N$ noktaları için $|BM| = 21, |DN| = 4$ ve $|NC| = 24$ ise, $m(\widehat{MAN})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 37^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 60^\circ
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

$ABCD$ kare olduğu için bütün kenarlar $28$ dir. Gerekli pisagorlar yapılırsa $|AM|=35$ , $|AN|=20\sqrt{2}$ ve $|MN|=25$ bulunur. $NAM$ üçgeninde $\angle NAM$ ye Kosinüs teoremi uygulanırsa $\angle NAM=45^\circ$  bulunur.

[ERhan ERdoğan]

$ADN$ üçgenine eş olan $ABK$ üçgenini $K$ köşesi karenin dış bölgesinde kalacak şekilde inşaa edelim. $BK=DN=4$ ve $MN=25$ olduğundan, $MK=MN$ dir. Ayrıca $AK=AN$ olduğundan, $AKMN$ deltoit olup $\angle{KAM}=\angle{NAM}$ dir. $\angle{NAK}=\angle{BAD}=90^\circ \Rightarrow \angle{NAM}=45^\circ$ dir.

Genel durumda; $ABCD$ karesinin $BC$ ve $CD$ kenarları üstünde alınan $M$ ve $N$ noktaları için $MN=BM+DN \Rightarrow \angle{NAM}=45^\circ$ dir.
Burada $A$ köşesi $MCN$ üçgeninin $MN$ ye teğet olan dış çemberinin merkezidir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\angle BAM=\alpha, \angle NAD=\beta$ olmak üzere, $\tan\alpha=\dfrac{3}{4}, \tan\beta=\dfrac{1}{7}$ olarak bulunur. Buna göre
$$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha.\tan\beta}=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{7}}{1-\dfrac{3}{28}}=1$$
elde edilir. Buna göre $\alpha+\beta=45^{\circ}$ bulunur. Dolayısıyla $\angle MAN=45^{\circ}$ olarak belirlenir.