Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 36

[ERhan ERdoğan]

Herhangi üçü bir doğru üstünde bulunmayan beş noktadan bazılarını köşe kabul eden dışbükey çokgenlerin sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[Lokman Gökçe]

Bu soru iptal edilmiştir.

Soru iptal edilmiş ancak doğru çözüm şu şekilde olabilir.

$5$ noktayı $A,B,C,D,E$ ile gösterelim. Herhangi üçü doğrusal olmayan $5$ nokta ile daima $\binom{5}{3}=10$ üçgen oluşturulabilir. Oluşan dörtgen ve beşgen sayısını küçük tutmaya çalışalım. Örneğin $A,B,C,D$ bir karenin köşeleri olsun. $ABCD$ karesinin ağırlık merkezi de $O$ noktası olsun. $AOB$ üçgeninin iç bölgesinde kalan bir noktayı $E$ olarak seçersek $ABED$ ve $ABCE$ dörtgenleri içbükey olur. $\binom{5}{4}-2=3$ tane dışbükey dörtgen oluşur. Ayrıca $ABCDE$ beşgeni de dışbükey değildir. Toplam dışbükey çokgen sayısı en az $10+3=13$ olabilir. Bu ise seçeneklerde verilmediği için soru iptal edilmiş olabilir.

[Lokman Gökçe]

Bu soru iptal edilmiştir ama, uzun yıllar sonra bugün tekrar baktığımda artık iptal edilme gerekçesi göremiyorum. Soru çözülebiliyor ve cevabı seçeneklerde var gibi ...


Yanıt: $\boxed{B}$

Toplam dışbükey çokgen sayısı $S$ olsun.  Beş noktayı $A, B, C, D, E$ ile gösterelim. Herhangi üçü doğrusal olmayan $5$ nokta daima $\binom{5}{3}=10$ tane üçgen oluşturabilir. $S\geq 10$'dur. Dışbükey dörtgen ve beşgen sayılarını en az tutmaya çalışmalıyız. $5$ noktanın dışbükey örtüsüne-iskeletine (İng: convex hull) bakalım. Eğer dışbükey beşgen varsa, tam $5$ tane de dışbükey dörtgen vardır. $S = 10 + 5 + 1 = 16$ olur. O halde dışbükey örtü bir dörtgen olsun. İç bölgede $2$ tane daha dışbükey dörtgen oluşur. $S = 10 + 3 = 13$ olur.



Şimdi de dışbükey örtünün üçgen olduğu durumu ele alalım. Bu halde de zorunlu bir dışbükey dörtgen oluşur. $S=10+1=11$ olur. Tüm bu durumlarda oluşabilecek dışbükey çokgen sayısı en az $S_{\min} = 11$ bulunur.