Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 18

[geo]

En az bir kenarının uzunluğu $1$ olup, tüm köşegenlerinin uzunlukları tam sayılar olan bir dışbükey çokgenin en çok kaç kenarı olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$A_1A_2\cdots A_n$ dışbükey çokgeninde $A_1A_2=1$ olsun. $n\geq 6$ için, üçgen eşitsizliğinden $$|A_1A_4-A_4A_2| < 1 \Rightarrow -1<A_1A_4 - A_4A_2<1 \Rightarrow A_1A_4 = A_4A_2$$ ve benzer şekilde, $A_1A_5 = A_5A_2$. $A_4$ ve $A_5$ noktalarının geometrik yeri, $A_1A_2$ doğru parçasının orta dikmesidir. $A_4$ ve $A_5$ aynı orta dikme üzerinde yer alırsa, dışbükeylik bozulacağı için, $n<6$ olmalı.

$n=5$ için, $A_1A_2$ ve iki köşegenden oluşan tek bir üçgen var. Yukarıda bahsedilen sıkıntı burada oluşmuyor. Yine de, $n=5$ için örnek bir çizim yapalım.
$A_4A_1 = A_4A_2 = 3$ olsun. $A_1$ merkezli $3$ yarıçaplı $C_1$ çemberil ile $A_2$ merkezli $3$ yarıçaplı $C_2$ çemberini çizelim. $C_2$ üzerinde $A_2$ açısının gördüğü yay üzerinde bir $A_5$ noktası alalım. $A_5$ merkezli $3$ yarıçaplı çemberle $C_1$ çemberi $A_3$ te kesişsin. $A_1A_2A_3A_4A_5$ dışbükey çokgeninde tüm köşegenler $3$ olacak.