Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 09

[geo]

$ABCDE$ dışbükey beşgeninde $m(\widehat{B}) = m(\widehat{D})=90^\circ$, $m(\widehat{C}) = 120^\circ$, $|AB|=2$, $|BC|=|CD|=\sqrt 3$ ve $|ED|=1$ olduğuna göre, $|AE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {3\sqrt 3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {2\sqrt 3}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 3 - 1
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$BA$ ile $DE$ doğruları $F$ de kesişsin.
$\triangle BCD$ de, $\angle CBD = \angle CDB = 30^\circ$  ve $BD=3$ dir.
$\angle ABD = \angle BDE = 60^\circ$ olduğu için, $\triangle FBD$ bir eşkenar üçgendir. Bu durumda $FB=1$ ve $FE=2$ dir.
$\triangle AFE$ de ister Kosinüs teoreminden, isterse de doğrudan $AFE$ üçgeninin bir $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ üçgeni olduğunu fark ederek $AE=\sqrt 3$ bulabiliriz. Biraz daha estetik bir yol izleyelim.
$A$ dan $BD$ ye çizilen paralel $FD$ yi $G$ de kessin. $FA=AG=FG=GE=1$ ve $\angle AGE = 120^\circ$ olduğu için, $AE=\sqrt 3$ tür.