Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 09

[geo]

Köşeleri bir çember üzerinde bulunan dışbükey bir sekizgenin dört kenarının uzunluğu $2$, diğer dört kenarının uzunluğu da $6\sqrt 2$ ise, bu sekizgenin alanı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 120
\qquad\textbf{b)}\ 24 + 68\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 88\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 124
\qquad\textbf{e)}\ 72\sqrt 3
$

[geo]

Sekizgenin köşeleri çember üzerinde olduğu için her $2$ uzunluğundaki kenar (kiriş), aynı $\alpha$ merkez açısı ile görülür. Benzer şekilde her $6\sqrt 2$ lik kenar (kiriş) da $\beta $ merkez açısı ile görülür. Buradan $$4\alpha  + 4\beta = 360^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ$$ elde edilir. Sekizgende biri $2$ diğeri de $6\sqrt 2$ olan bir ardışık kenar ikilisini ele alalım. (Bu şekilde bir ikili vardır. Neden?) Genellemeyi bozmadan $AB=2, BC=6\sqrt 2$ ve çemberin merkezi $O$ olsun. $\angle AOB = \alpha$, $\angle BOC = \beta$ olduğu için $\angle AOC = 90^\circ$, $AO=OC=R$ ve $\angle ABC = \dfrac {360^\circ - 90^\circ}2 = 135^\circ$ elde edilir. Sekizgenin alanı $$4[AOB] + 4[BOC] = 4[ABCO]$$  olacağı için, $[ABCO]$ değerini hesaplamaya çalışacağız. $ABC$ üçgeninde Cosinüs teoreminden $$AC^2 = 2^2 + (6\sqrt 2)^2 - 2\cdot 2 \cdot 6\sqrt 2 \cdot \cos(135^\circ) = 4 + 72 + 24 = 100 \Rightarrow AC = \sqrt {100}$$ elde edilir.
Sinüs teoreminden $$[ABC] = \dfrac{1}2 \cdot 2 \cdot 6 \sqrt 2 \sin(135^\circ) = 6$$ ve $\triangle AOC$ ikizkenar dik üçgen olduğu için
$$[AOC] = \dfrac 12 \cdot AC \cdot \dfrac {AC}{2} = \dfrac {AC^2}4 = 25$$ dolayısıyla $$[ABCO] = [ABC] + [AOC] = 25 + 6 = 31 \Rightarrow 4[ABCO] = 4\cdot 31 = 124$$ elde edilir.

[geo]

$A_1A_2 = 2$ olmak üzere $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ kirişler sekizgeninin kenarları sırasıyla $2, 6\sqrt 2, 2, 6\sqrt 2, 2, 6\sqrt 2, 2, 6\sqrt 2$ olsun. (Kenar sıraları farklı olsa da sekizgenin alanı değişmezdi; çünkü $O$ merkez olmak üzere $A_iOA_j$ üçgenlerinden dördünün kenarları $R-R-2$, diğer dördünün kenarları $R-R-6\sqrt 2$ olacaktır.)
$A_1A_8$, $A_2A_3$, $A_4A_5$, $A_6A_7$ kenarlarını uzantıları $A, B, C, D$ noktalarında kesişsin. $ABCD$ kenarı $8\sqrt 2$ olan bir karedir.
Sekizgenin alanı $(8\sqrt 2)^2 - 4 = 128 - 4 = 124$ tür.