Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 24

[geo]

$x^6-2x^4+x^2=A$ denkleminin farklı gerçel çözümlerinin sayısını $n(A)$ ile gösterelim. $A$ tüm gerçel değerleri aldığında $n(A)$ nın alacağı değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \{0,1,2,3,4,5,6\}
\qquad\textbf{b)}\ \{0,2,4,6\}
\qquad\textbf{c)}\ \{0,3,4,6\}
\qquad\textbf{d)}\ \{0,2,3,4,6\}
\qquad\textbf{e)}\ \{0,2,3,4\}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$f(x)=g(x)$ denkleminin çözüm kümesi $y=f(x)$ ve $y=g(x)$ denklemlerinin grafiklerinin kesiştiği noktalardır.
Bu durumda $x^6 - 2x^4 + x^2 = x^2(x^4-2x^2+1) = x^2(x^2-1)^2 = A$ denkleminin çözüm kümesi $y=x^2(x^2-1)^2$ ile $y=A$ grafiklerinin kesiştikleri noktalar olacak.
$y=x^2(x^2-1)^2$ denkleminin kökleri $\{-1,0,1\}$ dir. Tüm bu kökler katlı köktür. Yani bu noktalara gelince fonksiyon artan-azalan durumunu değiştirir. Bu durumda
$y=A< 0$ için denklemin hiç kökü yoktur.
$y=A =0$ için denklemin $3$ kökü vardır.
Yeterince büyük $A$'lar için denklemin $2$ kökü vardır.
$y=x^2(x^2-1)^2$ fonksiyonu $(-1,0)$ ile $(0,1)$ aralığında simetrik olduğu için eğrilerin tepe noktaları aynıdır. $A$ bu tepe noktasının ordinat değerine eşit olduğunda denklemin $4$ kökü olacaktır.
$(-1,0)$ aralığındaki tepe noktası ile $y=0$ arasındaki değerler için denklemin $6$ kökü olur.
Yani $n(A)=\{0,2,3,4,6\}$ dır.