Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 18

[geo]

$p_1<p_2<\dots<p_{24}$, $[3, 100]$ aralığındaki asal sayıları göstermek üzere,
$$ \displaystyle\sum_{i=1}^{24} p_i^{99!} \equiv a \pmod {100}$$
denkliğini gerçekleyen en küçük $a\geq 0$ sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 48
\qquad\textbf{d)}\ 50
\qquad\textbf{e)}\ 99
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

Euler Teoreminden $(a,100) = 1$ olmak üzere, $a^{\phi (100)}  \equiv 1 \pmod {100}$ elde edilir. $\phi (100) = 100\cdot (1 - \dfrac12)\cdot (1 - \dfrac15) = 40$ olduğu için $a^{40}  \equiv 1 \pmod {100}$ olur. $40 | 99!$ olduğu için de $a^{99!}  \equiv 1 \pmod {100}$ olacaktır. Bu durumda $p_2 = 5$ hariç diğer $23$ asal sayı $100$ ile aralarında asal olduğu için $\bmod {100}$ de $1$ kalanını verirler. $5$ i özel olarak inceleyeceğiz.
$i>1$ tam sayısı için $5^i \equiv 25 \pmod {100}$ olacağından, $5^{99!} \equiv 25 \pmod {100}$ elde edilir.
Son durumda $25 + 23 \cdot 1 = 48 $ aradığımız yanıt olacaktır.