Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

$xy-$ düzlemine, $m$  mavi ve $k$  kırmızı dikdörtgen, kenarları eksenlere paralel olacak, eksenlerden herhangi birine paralel olan hiçbir doğru aynı renkte birden fazla dikdörtgeni kesmeyecek ve farklı renkte hangi iki dikdörtgen alınırsa alınsın, yalnızca bunları kesen ve eksenlerden birine paralel olan bir doğru bulunacak biçimde yerleştirilmişse, $(m,k)$ tam sayı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ (1,7)
\qquad\textbf{b)}\ (2,6)
\qquad\textbf{c)}\ (3,4)
\qquad\textbf{d)}\ (3,3)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Cevap: $(m, k)$ ikilisi $(1,7),(2,6),(3,4),(3,3)$ değerlerinin hepsini alıyor.
Aşağıda her durum için birer örnek vereceğiz.
Koordinat sisteminde köşelerinin koordinatları $\left(x_1, y_1\right)$, $\left(x_2, y_2\right)$, $\left(x_3, y_3\right)$, $\left(x_4, y_4\right)$ olan dikdörtgeni rengine göre $M\left(\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right),\left(x_3, y_3\right),\left(x_4, y_4\right)\right)$ veya $K\left(\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right),\left(x_3, y_3\right),\left(x_4, y_4\right)\right)$ olarak işaretleyelim.

$(1,7)$ : Mavi dikdörtgen $M \left ((0,0),(13,0),(13,1),(0,1) \right)$
ve $i=0,1, \ldots, 6$ olmak üzere, kırmızı dikdörtgenler $K_i \left ( (2 i, 2 i+2),(2 i+1,2 i+2),(2 i+1,2 i+3),(2 i, 2 i+3) \right )$.

$(2,6)$ : Mavi dikdörtgenler $M_1((0,0),(11,0),(11,1),(0,1))$, $M_2((12,2),(13,2),(13,13),(12,13))$
ve $i=0,1, \ldots, 5$ olmak üzere, kırmızı dikdörtgenler $K_i((2 i, 2 i),(2 i+1,2 i),(2 i+1,2 i+1),(2 i, 2 i+1))$.

$(3,4)$ : Mavi dikdörtgenler  $M_1((0,0),(3,0),(3,3),(0,3))$, $M_2((4,4),(7,4),(7,7),(4,7))$,
$M_3((8,8),(11,8),(11,11),(8,11))$ ve kırmızı dikdörtgenler $K_1((0,6),(1,6),(1,9),(0,9))$,
$K_2((2,10),(5,10),(5,11),(2,11))$, $K_3((6,0),(9,0),(9,1),(6,1))$, $K_4((10,2),(11,2),(11,5),(10,5))$.

$(3,3)$ örneği $(3,4)$ örneğindeki kırmızı dikdörtgenlerin herhangi birinin atılmasıyla elde ediliyor.

Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009