Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninin $[AL]$ ve $[BM]$ kenarortayları $K$ noktasında kesişiyor. $C,K,L,M$ noktaları çembersel ve $|AB|=\sqrt{3}$ ise $[CN]$ kenarortayının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\triangle ABC \sim \triangle MLC$ benzer üçgenlerinin kenarları karşılıklı olarak paralel olduğundan $C$ merkezli ve $1/2$ oranlı bir homotetiye sahiptirler. $D$ ve $N$ noktaları homotetik eşlenik olduklarından dolayı $N$ nin $[AB]$ üzerinde yaptığı işi $D$ noktası $[ML]$ üzerinde yapar. Yani $D$, $[ML]$ nin orta noktasıdır. $|MD|=|DL|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ olur. $K$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğu için $|KD|=x$ dersek $|KN|=2x$, $|DC|=3x$ olur. $D$ noktasına göre çemberde kuvvet bağıntısını yazarsak $x\cdot3x=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ olup $x=\dfrac{1}{4}$ bulunur. Buradan $|CN|=6x=\dfrac{3}{2}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$

$|AL|=3t,|BM|=3s$ olmak üzere çemberde kuvvetten $6s^2=2|BL|^2$ ve $6t^2=2|AM|^2$, dolayısıyla da $BL=LC=s\sqrt{3}$ ve $AM=MC=t\sqrt{3}$ olur. Ayrıca $|LM|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olduğu açıktır. Buna göre $CLKM$ kirişler dörtgeninde Batlamyus Teoremi'ne göre
$$|KM|.|LC|+|MC|.|LK|=|KC|.|LM|\Longleftrightarrow \sqrt{3}\left(s^2+t^2\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.|KC|$$
elde edilir. Öte taraftan, $AL$ için Kenarortay Teoremi'ni kullandığımızda
$$2|AL|^2=18t^2=3+12t^2-6s^2\Longleftrightarrow s^2+t^2=\dfrac{1}{2}$$
belirlenir. Uygulanan Batlamyus'a konduğunda $|KC|=1\Longleftrightarrow |CN|=\dfrac{3}{2}$ olarak bulunur.