Diklik merkezi ve köşelerden geçen çember

[geo]

$D$ noktası $[BC]$ üzerinde olmak üzere; $\triangle ABC$ de, $AB=4\sqrt 2$, $AC = 4\sqrt 5$, $AD=2\sqrt 5$ tir. $\triangle ABD$ nin diklik merkezi $H$ olmak üzere; $\triangle BHD$ nin çevrel çemberi $\triangle ADC$ nin diklik merkezinden geçiyorsa, $BD=?$

[FEYZULLAH UÇAR]

$ m (ADB)>90  $ ;
 $HKCF$ ,$BHDF$  kirişler dörtgeni  olduğundan $m(AFD)=m(ACB)=m(DBR)$ olur.
 
 $ABE$ ve $AED$ üçgenlerinde pisagor uygularsak $ |BE|^2-|ED|^2=12$ ....(1) olur.
$ABE$ ve $AEC$  üçgenlerinde de pisagor uygularsak $ |EC|^2-|BE|^2=48 $ ....(2) olur.
Ayrıca  $|EC|=|ED|+|DC|$ olduğundan bu eşitlik (2) de yerine yazılırsa $|DC|^2+2|ED|.|DC|=60$ .....(3) olur.
 $AED$ üçgeni ile $CEA$ üçgenleri benzer olduğundan  $|AE|^2=|ED|.|EC|$ ...(4) ve  $AED$ üçgeninde pisagor uygulayıp (4) eşitliğini yerine  yazarsak  $2|ED|+|ED|.|DC|=20 $ .....(5) olur.
(3) ve (5) oranlarsak $|ED|:|DC|=1/3$ olur .Bu eşitlik yukarıdaki denklemlerde yerine yazılırsa ;
$|ED|=2 , |DC|=6$ ve $|BE|=4 $ bulunur.Buradan $|BD|=6$ olur.
$ m(ADB)<90^\circ  $ ise  diklik merkezi $ ADC$ üçgeninin iç bölgesinde olur ve benzer işlemlerle $|BD|=2 $ olur.