Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1960 Soru 4

[geo]

$h_a, h_b$ ($A$ ve $B$'den geçen yükseklikler) ve $A$ köşesinden geçen $m_a$ kenarortayı verilen $ABC$ üçgenini çiziniz.

[geo]

• $M$ merkezli $m_a$ yarıçaplı $\Pi$ çemberini çizelim. Çemberin $A$ dan geçen çapı, $AM'$ olsun.
• $A$ merkezli, $2\cdot h_a$ yarıçaplı çember ile $\Pi$ çemberi $H'$ noktasında kesişsin. $AH'$ nün orta noktası $H$ olsun. $MH \perp AH$ ve $AH=h_a$ olacaktır.
• $M'$ merkezli $h_b$ yarıçaplı çember, $\Pi$ çemberini $X$ ve $Y$ de kessin.
• $MH$ doğrusu, $AX$ ile $AY$ doğrularını, sırasıyla $C_x$ ve $C_y$ de kessin.
  
• • $C_x$ in, $M$ ye göre simetriği, $B_x$ olsun. $MC_x=B_xM$ ve $AM=MM'$ olduğu için, $AB_xM'C_x$ bir paralelkenardır. Bu paralel kenarın $AC_x$ ye ait yüksekliği $M'X=h_b$ kadardır. O halde $B_x$ den $AC_x$ ye inilen $B_xH_x$ yüksekliği de $h_b$ kadardır. Bu durumda, $\triangle AB_xC_x$ de, $AM$ kenarortay, $AH$ ve $B_xH_x$ yüksekliktir.
  • $C_y$ in, $M$ ye göre simetriği, $B_y$ olsun. $MC_y=B_yM$ ve $AM=MM'$ olduğu için, $AB_yM'C_y$ bir paralelkenardır. Bu paralel kenarın $AC_y$ ye ait yüksekliği $M'Y=h_b$ kadardır. O halde $B_y$ den $AC_y$ ye inilen $B_yH_y$ yüksekliği de $h_b$ kadardır. Bu durumda, $\triangle AB_yC_y$ de, $AM$ kenarortay, $AH$ ve $B_yH_y$ yüksekliktir.