Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 5

[geo]

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olsun. $4ab - 1$, $(4a^2 - 1)^2$ yi bölüyorsa, $a = b$ olduğunu kanıtlayınız.

[Buğra Doğan]

Bizden istenen a=b olduğunu kanıtlamaksa bizde probleme burdan giriş yapalım. a-b=t olsun ve t=0 olması gerektiğini bulalım;
\[
b = a - t
\]
Bunu sorudaki b'li ifade'nin yerine yazıp düzenleyelim;
\[
4ab - 1\,\,\,\,\xrightarrow[{}]{}\,\,\,4a^2  - 4at - 1
\]\[
\left( {4a^2  - 1} \right)^2  = 16a^4  - 8a^2  + 1
\]
\[
\frac{{16a^4  - 8a^2  + 1}}
{{4a^2  - 4at - 1}}\,\,\,\,bölümü\,\,kalansız\,\,olmalı.
\]
Buradan;

BÖLÜM= 4a²-1
KALAN=16a³t-4at

Kalan= 0 olması için;
\[
\begin{gathered}
  16a^3 t - 4at = 0 \hfill \\
  t(16a^3  - 4a) = 0 \hfill \\
  16a^3  - 4a = 0\,\,\,olsayd\imath ;\,\,\,a = \frac{1}
{2}\,\,olurdu\,\,ancak\,\,a\,\,pozitif\,\,tam\,\,say\imath \,\,olmal\imath . \hfill \\
  O\,\,halde\,\,t = 0\,\,olmal\imath d\imath r.\,\,Yani\,\,a = b\,\,olmal\imath d\imath r. \hfill \\
\end{gathered}
\]

[Eray]

$16a^4-8a^2+1$ ifadesinin $4a^2-4at-1$ ifadesine bölümünden kalanın $16a^3t-4at$ olduğunu söylemişsiniz. Ancak bu ifade $4a^2-4at-1$ ifadesinden büyük.

[Buğra Doğan]

16a³t−4at ifadesinin 4a²−4at−1 ifadesinden büyük olduğunu söylemişsiniz de değişkenleri bilmeden bunu nasıl bilebiliriz anlayamadım ve bölümü yaparken nasıl devamını getirebiliriz büyükse eğer ? Açıklayabilirseniz sevinirim.

[Eray]

Büyük ya da küçük olduğunu bilemiyorsak da çözüm yine de doğru olmaz. Bölümden kalanın o olduğunu söylemek için küçük olduğunu ispatlamak gerekir.
Ancak zaten bulduğunuz bu sayılarda büyük olduğundan emin olabiliyoruz.

$a-b=t$ dediniz ve olmayana ergi yapmak için $t\neq0$ kabul ettiniz.

Eğer $t<0$ ise $16a^2t-4at=t(16a^3-4a)$ ifadesi negatif olacağından bir bölme işleminde kalan olması mümkün değildir.

Eğer $t>0$ ise $16a^3t>4a^2$ olduğu açıktır. Bu yüzden $16a^3t-4at > 4a^2-4at>4a^2-4at-1$

[Buğra Doğan]

Haklısınız, şuan kontrol ettiğimde farkettim.
 
Ancak bölme işlemine tekrardan baktım. Biraz daha uzattığımda;

BÖLÜM: 4a²+4at+4t²-1
KALAN: 16at³+4t²

buldum. Bölüm daha uzardı aslında ama kesirliler geliyor ve bir yere varmıyor gibi. Ancak 16at³+4t²'nın 4a²-4at-1'den küçük yada büyük olduğunu nasıl çıkarabiliriz bilmiyorum. İncelediğimde;

(4t²+1)(4at+1)'in 4a²'den küçük olduğunu bulmalıyız. Ancak t ve a ya göre değişken bi durum.
Küçük olduğu anda t²(16at+4)=0 ve a ve b poz. tamsayı olduğundan parantez için 0 olamıyor ve t=0'a ulaşıyoruz tekrardan ancak bilemediğimizden dolayı başka bir yolla yaklaşmalıyız probleme sanırım.

Düzelttiğiniz için teşekkür ederim.