Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2009 Soru 4

[geo]

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{CAB}$ ve $\widehat{ABC}$ açılarının açıortayları $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $K$, $ADC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; $m(\widehat{BEK}) = 45^\circ$ ise, $m(\widehat{CAB})$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

[geo]

$BE$ ile $AD$ doğruları $I$ da kesişsin. $I$, $\triangle ABC$ nin içmerkezidir.
$I$ dan $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $IHCD$ deltoidinde $\angle IHK = \angle IDK = 45^\circ = \angle IEK$ dir.
$E\neq H$ olduğunda $I,H,E,K$ noktaları çembersel, dolayısıyla $\angle IHE = \angle IKE = 90^\circ$ olacaktır. Bu durumda $\angle EIK = 45^\circ$, $\angle IBC = 22,5^\circ$, dolayısıyla $\boxed{\angle BAC = 90^\circ}$ olacaktır.
$E=H$ olduğunda $I$ aynı zamanda diklik merkezi olacağı için $\boxed{\angle BAC = 60^\circ}$ olacaktır.

[geo]

$\triangle ABC$ nin içmerkezi $I$ olsun. $\angle IBC = \angle ICB = \angle ACI = \alpha$ olacaktır.
$\triangle DIC$ de açıortay teoreminden $$\dfrac{IK}{KC} = \dfrac{ID}{DC} = \tan \alpha \tag{1}$$
$\triangle IEK$ ve $\triangle EKC$ de Sinüs Teoreminden $$\dfrac{IK}{KC} = \dfrac{IK}{KE} \cdot \dfrac{KE}{KC} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 2\alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin (3\alpha + 45^\circ)} \tag{2}$$
$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 2\alpha} \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin (3\alpha + 45^\circ)} \Rightarrow \sin 2\alpha \cdot \sin (3\alpha +45^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos \alpha = \sin 45^\circ \sin (90^\circ - \alpha)$

$\Rightarrow \cos (\alpha + 45^\circ) - \cos (5\alpha + 45^\circ) = \cos (45^\circ - \alpha) - \cos (135^\circ - \alpha) = - \cos (135^\circ + \alpha) + \cos (45^\circ + \alpha)$

$\Rightarrow \cos (5\alpha + 45^\circ) = cos (135^\circ + \alpha)$.

Bu durumda, ya $5\alpha + 45^\circ = 135^\circ + \alpha$ ya da $(5\alpha + 45^\circ) + (135^\circ + \alpha) = 360^\circ$ olacak.

Buradan, $\alpha = 22,5^\circ$ ya da $\alpha = 30^\circ$ elde edilir.

O halde $\angle BAC = 90^\circ$ ya da $\angle BAC = 60^\circ$ dir.