Benzer bir soru için Tubitak $2018$ $1.$ aşama sınavında çıkan
https://geomania.org/forum/index.php?topic=6357.0 veya listedeki $20$ numaralı soruya bakılabilir.
https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419.0 İfadenin $0$ olamayacağı görülebilir. Buradan yola çıkarak $$\dfrac{5^m+p.2^n}{5^m-p.2^n}=x^2$$ olacak şekilde $x$ pozitif tam sayısı bulunmalıdır. $5^m>p.2^n$ olduğunu not edelim. Denklemde içler dışlar çarpımı yapıp düzenlemeler yapılırsa $$\dfrac{x^2-1}{x^2+1}5^m=p.2^n$$ elde edilir. Sol taraf $5$ in katı ise $p=5$ olmak zorundadır. Bunu not edelim. Polinom bölmesi yardımıyla
$$5^m-\dfrac{2.5^m}{x^2+1}=2^np$$ denklemini elde ederiz. Olasılıklarımız
$x^2+1=1$ , $x^2+1=2$ , $x^2+1=5^a$ ,$x^2+1=2.5^a$ , $m\geq a\geq 1$ tam sayısı olacak şekilde olmalıdır.
1) $x^2+1=1$ den çözüm gelmediği açıktır.
2) $x^2+1=2$ den $0=2^np$ gelir çözüm olmaz.
3) $x^2+1=5^a$ olsun. $5^m-2.5^{m-a}=p.2^n$ elde edilir. $n$ pozitif tam sayı olduğundan $\pmod 2$ den bu denklemin çözümü olamayacağı görülür.
4) $x^2+1=2.5^a$ olsun. $5^m-5^{m-a}=p.2^n$ elde edilir. $m=1$ olsun. Bu durumda $5-5^{1-a}=p.2^n$ olur. $a=1$ için $p=2$ $n=1$ ve $x=3$ şeklinde çözümleri bulunur.
$$(m,n,p,x)=(1,1,2,3)$$ olur.
Geri kalan durumlarda $m\geq 2$ olmalıdır. $m-a\geq 2$ ise $p=5$ olması gerekir ancak ifade $\pmod {25}$ de incelenirse çözümsüz olduğu görülebilir.
$m-a=1$ olsun. Bu durumda $p=5$ olmalı ve denklemimiz $5^{m-1}-1=2^n$ olur. Zsigmondy teoremi gereği $m=2$ için $5-1=4$ olduğundan $m\geq 3$ için $2$ den farklı bir asal böleni bulunmalıdır. Bu durumda $m=2$ nin bu kısımdan tek çözüm olarak geldiği görülür. $m=2$ ise $n=2$ , $p=5$ , $x=3$ elde edilir. $$(m,n,p,x)=(2,2,5,3)$$
$m-a=0$ olsun. Bu durumda $5^m-1=p.2^n$ ve $x^2+1=2.5^m$ elde edilir.
$$5^m=p.2^n+1$$ denkleminde $n\geq 3$ için $5^m\equiv 1\pmod 8$ gelir. Bu durumda $m$ çift olmalıdır. Tüm çift $m$ ler için $5^m-1$ in $2$ ve $3$ e bölündüğü görülebilir. Zsigmondy Teoremi gereği $n\geq 4$ için yeni bir ilkel asal bölen bulunması gerektiği için $5^m-1$ in en az $3$ asal böleni bulunmalıdır. Çelişki elde edilir.
$n=1$ için $5^m=2p+1$ olur. $2.$ denklemimiz ise $x^2+1=4p+2$ yani $(x-1)(x+1)=4p$ elde edilir. Çarpanların biri çiftse diğeri de çift olması gerektiği için $x-1=2$ , $x+1=2p$ veya $x-1=2p$ , $x+1=2$ olmalıdır. $2.$ durumun çözümü yokken ilk durumda $x=3$ ,$p=2$ bulunur. $x^2+1=2.5^m$ den $m=1$ bulunur. Bu bölümü $m>1$ için incelediğimizden çözüm gelmez.
$n=2$ için $5^m=4p+1$ olur. $2.$ denklemden $x^2+1=8p+2$ yani $(x-1)(x+1)=8p$ elde edilir. Bu da bize
1) $x-1=2$ ,$x+1=4p$ yani $x=3$ , $p=1$ verir. Çelişki.
2) $x-1=4$ , $x+1=2p$ yani $p=3$ verir. Buradan $5^m=13$ den çelişki gelir.
3) $x-1=2p$ , $x+1=4$ yani $x=3$ , $p=1$ verir. Çelişki.
4) $x-1=4p$ , $x+1=2$ yani $x=1$ , $p=0$ verir. Çelişki.
O halde denklemin buradan çözümü gelmez.
Denklemin tüm $(m,n,p)$ çözümleri $$\{(1,1,2),(2,2,5)\}$$ ve her iki durumda da kesirli işlemin sonucu $9$ olarak bulunur.
Not: Üstteki çözümde belirtmediğim ancak gizli başka bir yapıyı da burada eklemek istedim. (Bu soruda kullanmak çok gerekli değil.)Bu çözüme ek not olarak dizi yöntemiyle de son kısmı kapatabilirdik. $m-a=0$ durumunda gelen $5^m-1=p.2^n$ ile $x^2+1=2.5^m$ koşullarını kullanarak daha farklı bir çözüm de yapabiliriz.
$5^m-1$ ifadesi $m$ çift iken Zsigmondy Teoremi'nden dolayı $m\geq 4$ için en az $3$ asal böleni olduğunu belirtmiştik. Dolayısıyla $m$ tek sayıdır.
$m=1$ için $x=2$ ve $p=2$ $n=1$ gelir.
$m>1$ için $m=2k+1$ , $k\in \mathbb{Z}^+$ alabiliriz. Denklemi yeniden yazarsak $$x^2-10.(5^k)^2=-1$$ elde edilir. Bu da bize $x^2-10y^2=-1$ pell denkleminin $y$ teriminin bulunduğu dizide $5$ in kuvveti aramamız gerektiğini gösterir. İlgili dizi'yi bulmak için
https://geomania.org/forum/index.php?topic=5440.msg26667;topicseen#new linkinde kullanılan yöntem takip edilirse $$y_{n+1}=38y_n-y_{n-1}$$ , $y_0=1$ ve $y_1=37$ olacak şekilde elde edilir. Ayrıca $y_2=1405$ olduğundan $i\geq 3$ için Zsigmondy Teoremi'nin pell tipi dizilere uygulanan formundan $y_i$ nin $5$ ten farklı bir ilkel asal böleni bulunması gerekir. Dolayısıyla bu dizide $y_0=1$ hariç hiçbir terim $5$ in kuvveti olamaz.
Bu da bize $k=0$ verir. $k$ yı pozitif aldığımız için buradan çözüm gelmemiş olur.
Not2: Sonda elde ettiğimiz $x^2+1=2.5^m$ denklemi pisagor parametrizasyonlarına da uydurulabiliyor.
