Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 03

[ERhan ERdoğan]

$$x^{2}+2y=2xy$$ $$x^{3}+x^{2}y=y^{2}$$ denklem sistemini sağlayan kaç $\left(x,y\right)$ gerçel sayı ikilisi vardır?


$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Legendary]

Yanıt: $\boxed{A}$

İlk denklemden $y$'yi çekelim:

$y=\dfrac{x^2}{2(x-1)}$ olur. İkinci denklemde yerine yazalım

$x^3+\dfrac{x^4}{2(x-1)}=\dfrac{x^4}{4(x-1)^2}$ olur.

$x=0,y=0$ değilken $1+\dfrac{x}{2(x-1)}=\dfrac{x}{4(x-1)^2}$ ifadesini düzenlersek;

$6x^2-11x+4=0 \Rightarrow (3x-4)(2x-1)=0 \Rightarrow x=4/3$ ve $x=1/2$ değerlerini

Ana denklemlerde $x$'in yerine yazarsak $y$'yi buluruz.$(x,y)$ ikilileri;

$(0,0),(1/2,-1/4),(4/3,8/3)$ olmak üzere 3 tanedir.

[ERhan ERdoğan]

$$x^{3}+x^{2}y=y^{2}  \Rightarrow \left (\dfrac{x}{y} \right )^3 + \left (\dfrac{x}{y}\right )^2 = \dfrac{1}{y} \tag{1}$$
$$x^{2}+2y=2xy \Rightarrow \left (\dfrac{x}{y} \right )^2 + \dfrac{2}{y} =\dfrac{2x}{y} \tag{2}$$

$(1)$ ve $(2)$ den
$$2\left (\dfrac{x}{y} \right)^3+3\left (\dfrac{x}{y} \right )^2 -2\dfrac{x}{y}=0 \tag{3}$$ elde edilir. $(3)$ denkleminde $\dfrac{x}{y}=a$ değişken değiştirmesi yaparsak $$2a^3+3a^2-2a=0 \tag{4}$$ olur.Bu denklem $a.(2a-1).(a+2)=0$  şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buna göre $(4)$ denkleminin kökleri $0, \dfrac{1}{2},-2$ dir.

Buradan bulunan $x=0 ,y=2x$ ve $y=-\dfrac{x}{2}$ ifadelerini sistemde kullanarak $(0,0),(1/2,-1/4),(4/3,8/3)$ çözümlerine ulaşırız.