IMO Shortlist 2012 G4 {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

$\left | AB \right |\neq \left | AC \right | $ ve çevrel çember merkezi $O$ olan $ABC$ üçgeninde $\angle BAC$ nın açıortayı $BC$ yi $D$ de kesiyor. $D$ nin $\left [ BC \right ]$ kenarının orta noktasına göre  simetriği $E$ olsun. $D$ ve $E$ den $BC$ ye çizilen dikmeler sırasıyla $AO$ ve $AD$ yi $X$ ve $Y$ noktalarında kesiyor ise $B,C,X,Y$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.

[geo]

$BC$ nin orta noktası $M$ olsun. $AD$ açıortayı çevrel çemberi $N$ de kessin. Açık şekilde $O,M,N$ doğrusal ve $OM \perp BC$.

$X$ in $OM$ ye göre simetriği $X'$ olsun. $BX'XC$ bir ikizkenar yamuktur, dolayısıyla bir kirişler dörtgenidir.

$\triangle EDY$ de, $EM=MD$ olduğu için $EY=2\cdot MN$.

$ON=OA$ ve $XD \parallel OM$ olduğu için $XD=XA$.

$\triangle AXD$ de, $\cos \angle XDA = \dfrac {AD}{2\cdot XD}$.

$\triangle MDN$ de, $\cos \angle MND = \dfrac {MN}{DN}$.

$\angle XDA = \angle MND$ olduğu için $AD\cdot DN = 2 \cdot MN \cdot XD = EY \cdot X'D$.

$(ABC)$ çemberinde $D$ noktasının kuvvetinden $AD \cdot DN = BD \cdot DC = BE \cdot EC = EY \cdot X'D$ olduğu için $Y$ noktası $(BCX')$ çemberi üzerindedir. Aynı zamanda $X$ noktası da $(BCX')$ çemberi üzerinde olduğundan $B,C, X, Y$ noktaları çemberseldir.