Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ sayılarının $\left ( a_{1},a_{2},\dots ,a_{10} \right )$ permütasyonlarından kaçı için,

$\left | a_{1}-1 \right |+\left | a_{2}-2 \right |+\cdots +\left | a_{10}-10 \right |=4$  olur $?$


$
\textbf{a)}\ 60
\qquad\textbf{b)}\ 52
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 44
\qquad\textbf{e)}\ 36
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\left ( \begin{smallmatrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6&a_7&a_8&a_9&a_{10}
\end{smallmatrix} \right )$ permütasyonunda $\left | a_{1}-1 \right |+\left | a_{2}-2 \right |+\cdots +\left | a_{10}-10 \right |=4$ olması için yeri ile indisi farklı

• $4$ eleman: $1+1+1+1=4$
• $3$ eleman: $1+1+2=4$
• $2$ eleman: $2+2=4$

olmalı.

$2$ eleman için, $\left ( \begin{smallmatrix}\cdots & a & \cdot & a+2 & \cdots \\
\cdots & a+2 & \cdot & a & \cdots \end{smallmatrix} \right )$ olmalı. Bu şekildeki eleman çiftleri $(1,3)$, $(2,4)$, $\dots$, $(8,10)$ olmak üzere $8$ tanedir.

$4$ eleman için, $\left ( \begin{smallmatrix}\cdots & a & a+1 & \cdots & b & b+1 & \cdots \\ \cdots & a+1 & a & \cdots & b+1 & b & \cdots \end{smallmatrix} \right )$ olmalı. Olası $(a,b)$ çiftleri $a=1$ için $7$ tanedir. $a=2$ için $6$ tanedir. O halde, bu şekildeki ardışık sayılardan oluşan iki çift $7+6+5+4+3+2+1=28$ farklı şekilde seçilebilir.

$3$ eleman için $(a,b,c)$ üçlüsü kendi aralarında $3$ uzunluklu çevrim oluşturmalı ve $a,b,c$ sayıları ardışık olmalı. Bu şekilde her $a$ için iki farklı $\left ( \begin{smallmatrix}\cdots & a & a+1 & a+2 & \cdots \\ \cdots & a+1 & a+2 & a & \cdots \end{smallmatrix} \right )$ ve $\left ( \begin{smallmatrix}\cdots & a & a+1 & a+2 & \cdots \\ \cdots & a+2 & a & a+1 & \cdots \end{smallmatrix} \right )$ permütasyon vardır. $a=1,2, \dots, 8$ den $2\cdot 8 = 16$ farklı permütasyon gelir.

O halde, toplamda $8+28+16=52$ permütasyon $\left | a_{1}-1 \right |+\left | a_{2}-2 \right |+\cdots +\left | a_{10}-10 \right |=4$ denklemini sağlar.