Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

Bir yüzleri siyah ve diğer yüzleri beyaz olan $2012$ tane tavla pulu bir doğru boyunca ve üste gelen yüzleri dönüşümlü olarak siyah ve beyaz olacak biçimde dizilmiştir. Her hamlede iki pul seçip bunları ve bu pulların arasında kalan tüm pulları ters çeviriyoruz. Bütün pulların üste gelen yüzlerinin aynı renkte olmasını en az kaç hamlede sağlayabiliriz?

$
\textbf{a)}\ 1006
\qquad\textbf{b)}\ 1204
\qquad\textbf{c)}\ 1340
\qquad\textbf{d)}\ 2011
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$ 

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Cevap: $1006$.
Üste gelen yüzleri farklı olan ardışık pul iki sayısına uyuşmazlık sayısı diyelim. Başlangıçta uyuşmazlık sayısı $2011$'e eşittir. Her hamlede uyuşmazlık sayısı en fazla iki azaldığı için gereken hamle sayısı en az $1006$ dır. $1006$ hamlenin aynı zamanda yeterli olduğunu gösterelim. Bunun için ilk hamlede $2.$ ve $2011.$, ikinci hamlede $3.$ ve $2010.$, $\ldots$, bin beşinci hamlede $1006.$ ve $1007.$ pulları ve en son hamlede de $1.$ ve $1006.$ pulları seçmek yeterli olacaktır.

Kaynak: Tübitak 20. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2012