Matematik Dünyası Dergisinden

[alpercay]

Y.207 Herhangi 3 tanesinden bir üçgen yapılabilen  5  doğru parçası verilmiştir.Bu doğru parçalarından yapılabilen üçgenler içinde  en az bir tanesinin dar açılı olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

verilen uzunluklar a,b,c,d,e olsun. a < b < c < d  < e kabul edelim. Varsayalım ki üçgenların hiçbirisi dar açılı değildir. O halde hepsi dik açılı yada geniş açılıdır. c² > a² + b², e² > d² + c², d² > c² + a² dir. buradan e² > 3.a² + 2.b² ...(1) olur. fakat a + b > e olduğundan a² + b² +2ab > e² ... (2) olup (1) ve (2) den, a² + b² +2ab > 3.a² + 2.b² dir. 2ab > 2.a² + b² bulunur. Bu ise aritmetik - geometrik ort. eşitsizliği ile çelişir. Başlangıçta yaptığımız tüm üçgenlerin geniş yada dik açılı oldukları kabulü yanlıştır. En az bir tane dar açılı üçgen olmak zorundadır.

[alpercay]

Eline sağlık Lokman Hocam.Konuyla ilgili olduğundan ekteki olimpiyat problemi ile devam edelim.

Problem. Düzlemde 2n+1 adet doğru çizilmiştir.Bunlardan herhangi ikisi paralel değildir ve herhangi üçünün ortak bir noktası yoktur.Herhangi  3 doğru  dik üçgen dışında üçgenler oluşturabilmektedir.Oluşabilecek dar açılı üçgen sayısı en çok kaç olur?
Macar-İsrail Matematik Olimpiyadı 1999