Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 14

[alpercay]

$n$ tam sayısını bölen pozitif tam sayıların sayısı $d(n)$ ile gösterilmek üzere; $64800$ sayısının tüm $k$ pozitif tam sayı bölenleri için, $d(k)$ sayılarının toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1440
\qquad\textbf{b)}\ 1650
\qquad\textbf{c)}\ 1890
\qquad\textbf{d)}\ 2010
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$64800 = 2^5\cdot 3^4 \cdot 5^2$ olduğu için $0\leq a \leq 5$, $0\leq b \leq 4$, $0\leq c \leq 2$ olmak üzere $k = 2^a\cdot 3^b \cdot 5^c$ biçiminde olmalı.
$d(k) = (a+1)(b+1)(c+1)$ olacaktır. $a+1=x$, $b+1=y$, $c+1=z$ şeklinde değişken değiştirirsek $d(k)=xyz$ ve $\sum d(k) = \sum\limits_{x=1}^6\sum\limits_{y=1}^5\sum\limits_{z=1}^3 xyz = \sum\limits_{x=1}^6 x \cdot \sum\limits_{y=1}^5 y \cdot \sum\limits_{z=1}^3z$ olacaktır.
Bu durumda $\sum d(k) = \dfrac{6\cdot 7}{2} \cdot \dfrac{5\cdot 6}{2} \cdot \dfrac{3\cdot 4}{2} = 21 \cdot 15 \cdot 6 = 1890$