Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 13

[alpercay]

Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $D$, $B$ ile $E$ arasında yer almak üzere, $|AD|=|DB|=6$ ve $|AE|=|EC|=8$ koşullarını sağlıyor. $ADE$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ noktası ve $|AI|=5$ ise, $|IO|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{26}{5}
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{5}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{21}{5}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$AB$ nin orta dikmesi $D$ den ve $O$ dan, $AC$ nin orta dikmesi de $E$ den ve $O$ dan geçer.

Bu durumda, $AB$ nin orta dikmesi $ADE$ açısının dış açıortayı, benzer şekilde $AC$ nin orta dikmesi de $AED$ açısının dış açıortayıdır. Bu durumda $O$ noktası, $DAE$ üçgeninin $A$ ya karşı dış teğet çemberinin merkezidir. Bu durumda $A,I,O$ doğrusaldır.
$\angle AOD = \dfrac {\angle AED}2 = \angle AEI = \angle IED$ ve $\angle DAO = \angle IAE$ olduğu için $\triangle ADO \sim \triangle AIE$. Dolayısıyla da $$\dfrac {AI}{AE} = \dfrac {AD}{AO} \Rightarrow \dfrac 58 = \dfrac {6}{5+IO} \Rightarrow IO = \dfrac{23}5$$