Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 02

[alpercay]

$p,q $ asal sayılar ve $ n $ pozitif bir tam sayı olmak üzere $$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{2013}{q}=\dfrac{n}{5} $$ eşitliğini sağlayan kaç $ (p,q,n)$ üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$$(q + 2013p)=\dfrac {npq}5 \Rightarrow \left(1 + \dfrac {2013p}q\right) = \dfrac {np}5$$

• $q\neq 5$ ise $5 | np$ ve $q | 2013p$ yani $q\in \{3,11,61,p\}$ olacaktır.
  
  $5 = \dfrac{np}{1+\dfrac{2013p}q}$
  
  $q \in \{3,11,61\}$ için $\left(1+\frac{2013p}q, p\right) = 1$ olduğu için $p=5$ olmalı.
  
  
• $p=q$ için $5 = \dfrac{np}{2014}$.
  
  $2\cdot 19 \cdot 53 \cdot 5 = np \Rightarrow p \in {2,5,19,53}$.
  
  
• $q=5$ için $5+2013p = np \Rightarrow 5 = (n-2013)p \Rightarrow p=5$ çözümü yukarıda ele alınmıştı.
  

$p,q$ değerlerine göre $n$ elde edileceği için sorudaki eşitliği sağlayan $(p,q)$ ikilileri $(5,3)$, $(5,11)$, $(5,61)$, $(2,2)$, $(5,5)$, $(19,19)$, $(53,53)$ olmak üzere $7$ tanedir.