Dışbükey $ABCD$ dörtgeni içerisinde bir $P$ noktası alalım.
$AP$ ya $\left[BC\right]$ yi kesecek, ya da $\left[CD\right]$ yi kesecek.
$\left[BC\right]$ yi $F$ de kesen noktalardan biri $Q$ olsun.
$$AQ+QB\le AQ+QF+FB\le AF+FB\le AC+CB<AD+DC+CB$$
$AP$, $\left[CD\right]$ yi $E$ de kessin.
$$AP+BP\le AP+PE+EB=AE+EB<AD+DE+EC+CB=AD+DC+CB$$
Bu durumda dışbükey $ABCD$ dörtgeni içerisinde alınan her $P$ noktası için,
$$AP+BP<BC+CD+DA.$$
$D$, $E$, $F$ noktaları sırasıyla $BC,AC,AB$ kenarlarının orta noktaları olsun. $AEF$ üçgeni içerisinde (ya da üzerinde fark etmez) bir $P_1$ noktası, aynı şekilde $BDF$ üçgeni içerisinde $P_2$ noktası, $CDE$ üçgeni içerisinde $P_3$ noktası, $DEF$ üçgeni içerisinde de $P_4$ noktası alalım.
$P_1$ noktası için $ABDE$ dörtgeninde $AP_1+BP_1<AE+ED+BD$ bağıntısı vardır.
$P_1$ noktası için $ACDF$ dörtgeninde $AP_1+CP_1<AF+FD+DC$ bağıntısı vardır.
Taraf tarafa toplarsak
$$AP_1+BP_1+CP_1+AP_1<AE+FD+AF+ED+BD+DC<AC+AB+BC$$
elde ederiz. Bu durumda
$${\min \left\{AP_1,BP_1,CP_1\right\}+AP_1+BP_1+CP_1\le \ }AP_1+BP_1+CP_1+AP_1<AC+AB+BC$$
olacaktır.
$P_2$ noktası için, $ABDE$ ve $BCEF$ dörtgeninde elde edilen eşitsizlikler taraf tarafa toplandığında
$${\min \left\{AP_2,BP_2,CP_2\right\}+AP_2+BP_2+CP_2\le \ }AP_2+BP_2+CP_2+BP_2<AC+AB+BC$$
$P_3$ noktası için, $ACDF$ ve $BCEF$ dörtgeninde elde edilen eşitsizlikler taraf tarafa toplandığında
$${\min \left\{AP_3,BP_3,CP_3\right\}+AP_3+BP_3+CP_3\le \ }AP_3+BP_3+CP_3+CP_3<AC+AB+BC$$
elde edilir.
$P_4$ noktası için, $ABDE$, $BCEF$, $ACDF$ dörtgenlerinden herhangi ikisini seçtiğimizde,
$${\min \left\{AP_4,BP_4,CP_4\right\}\ }+AP_4+BP_4+CP_4\le AP_4+BP_4+CP_4+{\max \left\{AP_4,BP_4,CP_4\right\}\ }<AC+AB+BC$$
elde edilecektir.
Yani her $P$ iç noktası için,
$${\min \left\{\left|PA\right|,\ \left|PB\right|,\ |PC|\right\}+\left|PA\right|+\left|PB\right|+\left|PC\right|<\left|AB\right|+\left|BC\right|+|CA|\ }$$
Not: Bu soru IMO 1999 Shortlist'indeki G1 numaralı sorunun aynısıdır.
