Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 5

[Lokman Gökçe]

Her $p\ge 7$ asal sayısı için, $$\begin{array}{lclr}
x_1^2 + y_1^2 & \equiv & x_2^2 & \quad \pmod p \\
\\ x_2^2 + y_2^2 & \equiv & x_3^2 & \quad \pmod p \\
\\ \dots \\
\\ x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2 & \equiv & x_n^2 & \quad \pmod p \\
\\ x_n^2 + y_n^2 & \equiv & x_1^2 & \quad \pmod p
\end{array}
$$ denklik sistemi sağlanacak biçimde bir $n$ pozitif tam sayısı ile $p$ ye bölünmeyen $x_1, x_2, \dots, x_n$, $y_1, y_2, \dots, y_n$ tam sayılarının bulunabileceğini gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Bir dizi inşa edelim. $x_1=3$ seçersek, $p\geq 7$ olduğundan $(p,5)=(p,3)=1$'dir ve $3$'ün $p$ modunda tersi vardır. $\alpha\equiv 5\cdot 3^{-1}\pmod{p}$ olsun. $(x_1,y_1)=(3,4)$ seçersek, $x_2=5$ diyebiliriz. $(x_2,y_2,x_3)=(3\alpha,4\alpha,5\alpha)$ seçebiliriz. Benzer şekilde $(x_3,y_3,x_4)=(3\alpha^2,4\alpha^2,5\alpha^2)$ seçebiliriz. Bu şekilde ilerlersek, $(x_n,y_n,x_1)=(3\alpha^{n-1},4\alpha^{n-1},5\alpha^{n-1})$ seçebiliriz (bu değerlerin $\pmod{p}$ değerlerini seçiyoruz). Tek yapmamız gereken $$5\alpha^{n-1}\equiv 3\pmod{p}\implies \alpha^{n-1}\equiv 3\cdot 5^{-1}\equiv \alpha^{-1}\pmod{p}$$ olmasıdır. Eğer $n=p-1$ seçersek, fermat teoreminden istenilen sağlanır.