Tübitak Lise 2. Aşama 1991 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Beş ardışık tamsayının karelerinin toplamının bir tam kare olamayacağını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Ardışık tam sayılar $x-2,x-1,x,x+1,x+2$ olsun. $(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=y^2$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tamsayı çiftlerinin olmadığını göstermeliyiz. $(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=5x^2+10$ olduğundan $y^2= 5x^2+10$ olup  $y=5n$ şeklindedir. Buna göre denklem $5n^2=x^2 + 2$ haline dönüşür.  Bu denklemi $\bmod5$ de inceleyelim. $x^2 \equiv 3 \pmod5 $ olur. Halbuki herhangi bir sayının karesinin $\bmod5$ deki değerleri $0,1,4$ olabilir. $3$ değeri, $\bmod 5$  de bir kare kalan olmadığından $5n^2=x^2 + 2$ denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.

Sonuç olarak, $5$ ardışık tam sayının kareleri toplamı asla bir tam sayının karesi olarak yazılamaz.

[proble_m]

Güzel çözüm teşekkürler Lokman hocam...

[Lokman Gökçe]

Xu Jiagu'nun Çinli ortaokul öğrencileri için yazmış olduğu olimpiyat çalışma kitaplarında bu ve benzeri tam kare, tam küp soruları mevcuttu. İlgilenenler kitabın İngilizce pdf sini nette bulabilirler.

[alpercay]

Çok benzer bir çözüm...

Ardışık tam sayılar $x-2,x-1,x,x+1,x+2$ olsun. $(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=5(x^2+2)$
Bu sayının tam kare olabilmesi için  $x^2+2$ sayısının içinde $5$ çarpanı bulunmalıdır.Yani  $x^2+2$ sayısının birler basamağı $0$ veya $5$ tir.Dolayısıyla $x^2$ sayısının birler basamağının $3$  veya  $8$ olması gerekir fakat kare bir sayının birler basamağı  $3$ veya $8$ olamaz.

Sonuç olarak, $5$ ardışık tam sayının kareleri toplamı asla bir tam sayının karesi olarak yazılamaz.