Tübitak Lise 2. Aşama 2006 Soru 1

[geo]

Bir $ABCD$ konveks dörtgeninin $\lbrack CD\rbrack $ kenarı üzerinde $0<\vert DE\vert =\vert FC\vert <|CD|$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $ADE$ ve $ACF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $K$ noktasında; $BDE$ ve $BCF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $L$ noktasında kesişiyor. $A,B,K,L$ noktalarının çemberdeş olduğunu ispat ediniz.

(Selim Bahadır)

[geo]

$AK$ doğrusu $CD$ yi $M$ de kessin. 

$\left(ADE\right)$ çemberine göre, $MK\cdot MA=ME\cdot MD=ME\left(ME+ED\right)$.

$\left(ACF\right)$ çemberine göre, $MK\cdot MA=MF\cdot MC=MF\left(MF+FC\right)$.
$$ME^2+ME\cdot ED=MF^2+MF\cdot FC\Rightarrow ME^2-MF^2+ED\left(ME-MF\right)=0 $$ $$\Rightarrow \left(ME-MF\right)\left(ME+MF+ED\right)=0\Rightarrow ME=MF$$
$M$ noktasının $(BDE)$ çemberine göre kuvveti, $(BCF)$ çemberine göre kuvvetine eşit olacağından $M$, bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir. Yani, $BL$ doğrusu da $CD$ yi $M$ de kesecek. $$EM\cdot MD=MF\cdot MC$$ $$\Rightarrow MK\cdot AM=ML\cdot MB$$ olduğu için $A,K,L,B$ noktaları çemberseldir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AK$  ile $BL$  doğrularının $CD$  üstünde kesiştiğini göstereceğiz, ki bu direkt olarak kesişim noktası için birkaç çembere göre kuvvetten istenen çemberselliği verecek.

$AK\cap CD=P$  ve $BL\cap CD=Q$  olsun

$P$ ve $Q$  noktaları sırasıyla $(ADEK)-(AKFC)$  ve $(BLED)-(BLFC)$  çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir. Dolayısıyla $PE\cdot PD=PF\cdot PC$ ve $QE\cdot QD=QF\cdot QC$ olur. Bu ise $P\equiv Q$  çakışıklığını doğurur (Neden?). Sonrasında $P$  noktasının $(ADEK)$  ve $(BLFC)$  çemberlerine göre kuvvetinden $PE.PD=PK.PA=PF.PC=PL.PB$ elde edilir, istenen çembersellik $L\in (ABK)$  şeklinde elde edilir.