Uzun zaman oldu çözümü paylaşacağımı söz vermiştim
Toplara H (Hafif), A (Ağır) ve N (Normal) etiketlerini verelim. Toplamda 9!/(3!3!3!) = 1680 durum var. Tartıdan çıkabilecek 3 sonuç var, Sol Taraf < Sağ Taraf, Sol Taraf = Sağ Taraf, Sol Taraf > Sağ Taraf.
Tartının sonucuna göre durumlar bölünür, toplamı 1680 olacak şekilde. Durumu garantilemek istediğimiz için en şanssız durumları dikkate alacağım. Mesela ilk tartı toplam durumları 500 500 ve 680 diye ayırdı, o zaman şanssız durum 680 dir, çünkü en çok olasılık ile başbaşa kaldığımız durum o. O zaman ideal olarak 3 eşit parçaya bölebilecek şekilde tartımlar yapmamız lazım ki olasılık sayılarını hızlıca indirebilelim, sonunda 1 olasılık kalırsa, topların etiketlerini bulduk demektir. O yüzden teorik olarak tartım sayısı en az 3
t > 1680 bağlantısını sağlamalı, yani t
> 7.
Yani tartı sayısı 7 den az olamaz.Topları numaralandırıyorum, B1, B2, ... B9.
Tartı 1: B1 ile B2 yi tartalım, zaten hangi ikisini seçtiğimiz farketmeyecek. Burda B1 = B2 durumunu sağlayan C(3,1) * 7!/(3!^2) = 420 adet olasılık mevcut. O zaman B1 < B2 ve B1 > B2 durumları simetrik olduğundan (1680 - 420)/2 = 630 olasılığa yol açar. Herhangi birisi diğerinden farksız olduğu için genellik kaybetmeden B1 < B2 kabul edebiliriz.
Tartı 2: B1 i başka bir top ile tartmak orjinal bir bilgi kadar olasılıkları düşürmez, yani daha önce hiç bilgisine sahip olmadığımız iki topu tartmak durum sayısını daha da azaltır. O sebeble (B3, B4) çiftini tartalım. Sonrasında aynı mantıkla (B5, B6), (B7, B8) i tartalım.
Toplamda 4 tartı harcadık. Olası sonuçları şöyle listeleyebiriz:
B1-B2 B3-B4 B5-B6 B7-B8 B9
= = = = ---> bu olasılık imkansız. AA, HH, NN olsa bi daha AA veya HH veya NN olamaz çünkü 4 tane aynı top olur.
= = = <
= = < <
= < < <
< < < <
Not 1: < ve > simetrik durumlar. Eğer B3-B4 tartımı > çıkarsa, top numaralarını değiştiririz ve B3 < B4 elde ederiz. Bu sebeble yukarıda herşeyi < işareti ile yazabiliriz.
Not 2: Mesela ikinci satırda sadece B7-B8 tartımı < olarak işaretlendi, aslında B1-B2 tartımının sonucu < çıkmış olabilir, ama yine top numaraları değiştirilerek B7-B8 < olarak işaretlenebilir. Yani hangi tartımın sonucu < veya > çıktı yerine, toplamda kaç tartımın < veya > çıktığı önemli.
Şimdi bu durumları kısaca inceleyelim.
= = = < durumu:
B1-B2 B3-B4 B5-B6 B7-B8 B9
= = = <
H H A A N N H A N
Burada HH, AA, NN 3! N A H --> Toplamda 3! * 3 = 18 durum ortaya çıkar.
şekilde sıralanır H N A
Benzer şekilde = = < < için 12 durum, = < < < için 21 durum ve < < < < için 36 durum ortaya çıkmaktadır. Hatta kontrol olarak şunu yapabiliriz:
= = = < durumu C(4,1) = 4 farklı, = = < < durumu C(4, 2) = 6 farklı, = < < < durumu C(4, 3) = 4 farklı ve < < < < durumu C(4,4) = 1 farklı şekilde oluşturulabilir. B1 < B2 gibi sonuçlar da 2 farklı şekilde oluşabilir; ya B1 < B2 ya B2 < B1.
O zaman toplamda 4 * 18 * 2
1 + 6 * 12 * 2
2 + 4 * 21 * 2
3 + 36 * 2
4 = 1680 etmektedir. Yani her durumu düşünmüş oluyoruz. Yine en şanssız durumu seçiyorum, < < < <. Toplamda 36 durum var elimizde. Bunun teorik limiti 4 tartı çünkü 3
3 = 27. artık bu soruyu toplamda 7 tartıda çözme ihitmalimiz kalmadı,
en az 8 tartı gerekiyor. Artık ekstra 4 tartılık bir çözüm bulabilirsek sıkıntı yok.
5.tartıya geçmeden önce < < < < durumu için oluşabilecek durumları açık açık yazalım, çünkü lazım olacak. (ANA TABLO)
B1-B2 B3-B4 B5-B6 B7-B8 B9
< < < <
H N H N H A N A A
H A H A H N N A N
N A N A H N H A H
(Burada her bir satırı 12 farklı şekilde oluşturabiliriz. Mesela ilk satır HA HN HN NA da olabilirdir. Yani her satır 12 durumu temsil ediyor, potansiyel permütasyonlarla.)
5.tartı: Şimdi < < çıkan herhangi iki çifti alıyoruz. B1-B2 ve B3-B4 ü inceleyelim. B2 ve B4 ü tartalım.
Durum 1: B2 < B4 veya B2 > B4 (farketmez) durumlarında B1 < B2 < B4 veya B3 < B4 < B2 elde ediyoruz, hem de H, N ve A yı belirlemiş oluyoruz. Geri kalan 3 tartıda N i kullanarak bütün ağırlıklar bulunur. Şöyle ki: (Yine genellik kaybetmeden B1<B2<B4 durumunu düşünebiliriz)
Önce N yi B9 ile tartıp yukarıdaki tabloda hangi satırda olduğumuzu bulabiliriz.
İlk Satır, yani B9 = A ise N yi B6 veya B8 ile tartalım. Kim A ise diğeri N dir. Çünkü elimizde HN, HN, HA ve NA var, ve HN lerden birini B1-B2 çifti için kullandık. B4 de A olduğu için HN olamaz, yani HN ya B6 ya B8 çifti. O yüzden B6 A ise B8 N olmak zorunda. Eğer B8 A ise, B3 ve B7 çiftlerinden birisi HA, diğeri NA olmalı. Bunu elimizdeki N yi biriyle tartarak bulabiliriz. Yani bütün olasılıkları bulduk.
B9 = H ve B9 = N durumları da çok benzer yola sahip, zaten işin zor kısmı bitti, elimizde 12 durum ve 3 tartı var. Elbet bulunur
Durum 2: Bu durumda aşağıdaki tabloyu çizebiliriz (Ana Tablodan referans ile):
B1 B2 B3 B4 ...
H N H N ... --> Bu satırın oluşabileceği toplamda 2 durum var.
H A N A ... --> Bu satırın oluşabileceği toplamda 2+4+4 = 10 durum (ana tablodaki 3 satırda da HA NA durumunu elde edebiliriz) var. --> Yani Toplam 14 durum
N A N A ... --> Bu satırın oluşabileceği toplamda 2 durum var.
Durum 2 - 6.Tartı B1 ile B9 u tartalım. B1 < B9 için 6 durum, B1 = B9 için 4 durum, B1 > B9 için 4 durum mevcut (Bahsettiğimiz gibi toplamda 14 durum.) Yine şanssız durumu yani B1 < B9 durumunu düşüneceğiz. Bahsedilen 6 olasılık yine aşağıda listelenmiştir.
B1-B2 B3-B4 B5-B6 B7-B8 B9
H N H N H A N A A
N A H A A
H A N A H N H N A
N A H A
H A N A H A H N N
H N H A N
Artık 2 tartı hakkımız kaldı, burda B2 ile B9 u tartarsak <, > ve esit durumlarının her birinde 2 şer olasılık kalıyor ve problem 1 tartı çözülebilir hale geliyor.
Yani toplamda 8 tartı bu işi garantilemek için yeterli. Çözümün aşırı kalabalık(zaten bu hali yeteri kadar kalabalık
) bir hal almasını engellemek için en şanssız durumlar üzerinden gidip olasılıkları inceledik ama emin olman babında diğer durumlar da aynı strateji ile incelenebilir.
