2013/17 in türevi

[geo]

Kenar uzunluğu $10$ olan $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktasının köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı $128$ ise, $P$ den üçgenin kenarlarına inilen dikmelerin ayaklarının belirlediği üçgenin alanı nedir?

[ERhan ERdoğan]

Bahse konu üçgenin (Pedal üçgeni) kenarlarını, $P$ noktasının köşelere uzaklığı cinsinden yazalım.

$P,D,A,F$ noktalarının çembersel olduğu açıktır. $[PA]$ bu çemberin bir çapı olmak üzere, üzerinden $G$ merkezini seçelim. $|GD|=|GF|=\dfrac{|PA|}{2}$ ve

$m\widehat{(DGF)}= 2m\widehat{(DAF)}=120^\circ$ olduğundan, $|DF|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|PA|$ dır. Benzer şekilde, $|DE|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|PB|$ ve  $|EF|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|PC|$ olur.

$PA , PB , PC$ kenarlı üçgenin alanını burada hesaplamıştık.Bu alanı $\Delta$ ile gösteririsek $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ benzerlik oranı ile oluşturulan yeni üçgenin alanı $\dfrac{3}{4}\Delta$ olacaktır. $\Delta=6\sqrt{3}$ olduğundan istenen alan $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ olur.

[geo]

Bu soru, Hasan TUNÇ'un TMOZ'da paylaştığı bir çözümden esinlenerek hazırlandığı için o çözümü paylaşarak sonuca gidelim.

Soruda sorulan pedal üçgenle $\triangle P_AP_BP_C$ arasında $1/2$ oranlı benzerlik vardır. Bu durumda alanlar oranı $1/4$, yani $\dfrac{18\sqrt 3}{4} = \dfrac{9\sqrt 3}{2}$ olacaktır.

[geo]

$P$ nin $BC$, $AC$, $AB$ kenarlarına uzaklıkları sırasıyla $PD=x$, $PE=y$, $PF=z$ olsun.
Erhan hocanın gösterdiği gibi ya da $AEPF$ kirişler dörtgeninde Sinüs teoreminden $\dfrac {EF}{\sin 60^\circ} = AP \Rightarrow EF = AP \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}$ dir.

$\triangle EPF$ de Kosinüs teoreminden $y^2 + z^2 + yz = \dfrac{3 \cdot AP^2}{4}$,

$\triangle DPF$ de Kosinüs teoreminden $x^2 + z^2 + xz = \dfrac{3 \cdot BP^2}{4}$,

$\triangle DPE$ de Kosinüs teoreminden $x^2 + y^2 + xy = \dfrac{3 \cdot CP^2}{4}$,

Taraf tarafa toplarsak, $2x^2+2y^2+z^2 + xy + yz+ xz = \dfrac{3}{4} \cdot (AP^2 + BP^2 + CP^2) = 96 \quad ...(1)...$ elde ederiz.

$x+y+z$ toplamı eşkenar üçgenin yüksekliğine yani $5\sqrt 3$ e eşittir.

$2(x+y+z)^2 = 2 \cdot 75 = 150 = 2x^2+ 2y^2 + 2z^2 + 4xy + 4yz + 4xz \qquad ...(2)...$

$(2)$ den $(1)$ i çıkardığımızda, $3xy+3yz+3xz = 54 \Rightarrow xy+yz+xz = 18$ elde ederiz.

$[DEF] = [PEF] + [PDF] + [PDE] = \dfrac{1}{2} \cdot \sin 120^\circ \cdot (xy + yz + xz) = \dfrac{\sqrt 3}{4} \cdot 18 = \boxed{ \dfrac{9\sqrt 3}{2}}$