IG || BD {çözüldü}

[geo]

ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısı 45⁰ den büyüktür. BD, bu üçgenin yüksekliklerinden biri, ABD üçgeninin iç merkezi I, ağırlık merkezi G dir. CD=6.IG=6 ise BC=?

*Epey işlem gerektirebilir.

[ERhan ERdoğan]

ABD üçgeninin çevrel çember merkezi O olsun. AO=OB=R ve OG=R/3 , DG=2R/3 olur.
ABD üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun. ID=r√2 olur.
OID üçgeninde OI²=R²-2Rr bilgisini de kullanarak IG kesenine göre stewart teoremi yazarsak
(2R-3r)²=3r²+9  ......(1)  denklemine ulaşılır.
AI simetri ekseni olduğundan IB=IC dir. I dan BD ye ve AC ye çizilen dikme ayakları sırasıyla K ve T olmak üzere,
BIK üçgeni ile CIT üçgenleri eştir. Bu eşlikten TC=6+r=BK  olduğundan BD=6+2r dir ve AD=2R-6 olup ABD üçgeninde Pisagor teoreminden
6R=(r+3)²+9  .......(2)  denklemini buluruz.
(1) ve (2) denklemlerinin ortak çözümünden r=3 , BD=12 ve BC=6√5  bulunur.

*ortak çözümün getirdiği denklem 4. dereceden bir denklem olup 2 reel köke sahip
muhtemelen m(BAC)>45^o bilgisi diğer kökü sınırlamak için verilmiş. Bu kısmı çok irdelemedim

[geo]

ABD nin iç yarıçapına 1, AD=1+a, BD=1+b diyorum.
AB=a+b olacaktır. Bu durumda, DC=b-1 olur.
GID üçgeninde ID = √2, GD=(a+b)/3, GI=(b-1)/6 ve m(GDI)=|m(BAD) - 45| oluyor.
Her şeyi 6 ile genişletip, GID üçgeninde Kosinüs teoremi uygulayalım:
GI² = GD² + ID² - 2.GD.ID.cos (BAD - 45)
cos(BAD - 45) = √2/2(cos(BAD) + sin(BAD)) = √2/2.(a+b+2)/(a+b) olur.
4(a+b)²+72 - 2.6√2.2(a+b).√2/2.(a+b+2)/(a+b) = 4(a+b)²+72 - 24(a+b+2) = (b-1)²

ABD üçgeninde pisagordan ya da alandan ab=a+b+1 elde edilir. Buradan b=(a+1)/(a-1) bulunur.
Yerine yazılırsa,
4(a² + 1)²/(a-1)² + 72 - 24(a²+2a-1)/(a-1)=2²/(a-1)²
(a²+1)²+18(a-1)²-6(a²+2a-1)(a-1) = 1
a⁴-6a³+14a²-18a+13=1
ise a=2 bir çözüm.
Polinom bölmesi yaparsak,
f(a)=a³-4a²+6a-6=0 elde ederiz.
a=0 da f nin negatif, büyük değerler için ise pozitif olduğunu görüyoruz. Demek ki, f nin en az bir reel kökü var.
Türev alırsak
3a²-8a+6 = 0 => 64-4.6.3=-8<0 olduğu için f nin tek bir reel kökü var.
BAD>45 olduğu için a = cot (BAD/2)<cot(22,5⁰)=1+√2.
f(1+√2)=(1+√2)³-4(1+√2)²+6(1+√2)-6 = 7+5√2 - 12 - 8√2 + 6 + 6√2-6 = 3√2-5<0 olduğu için
f nin reel kökü 1+√2 den büyüktür. Bu durumda
a⁴-6a³+14a²-18a+13=1 denkleminin 1+√2 den küçük tek kökü a=2 dir.

a=2 olduğunda üçgen 3-4-5 üçgeni oluyor. b=3 ve CD=b-1=2 oluyor.
Soruda verilen CD=6 eşitliği için 3 ile genişletirsek, BD=12 olacak. Bu durumda BC=6√2 olarak elde edilecek.

Not: Herhangi bir ABD üçgende IG//BD => 6.IG = |AB-AD|.
Sorumuza özel olarak, 6.IG = AB-AD=DC.
Ama soruda tersi sorulmuş. Yani, IG//BD nin sorunun bir çözümü olduğu belli. Ama tek çözüm olduğunu söyleyemeyiz. Nitekim, aslında bir çözüm daha çıkıyor. Ama m(A)>45⁰ şartı eklenince bu çözüm ortadan kalkıyor.


Diğer bir sonuç da, IG nin kenarlardan birine paralel olduğu tek dik üçgen ailesi 3-4-5.