IMO Shortlist–1970 {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

Soru.[IMO Shortlist–1970]: ABC üçgeninin AC ve AB kenarlarının orta noktaları B’  ve C’ noktaları ve A köşesine ait yükseklik ayağı H noktasıdır. AB’C’, BC’H, B’CH üçgenlerinin çevrel çemberlerinin kesim noktası P  olmak üzere HP’nin [B’C’] doğru parçasını ortaladığını kanıtlayınız.

[geo]

Soruda zaten vermiş; ama bu üç çevrel çember Miquel Teoremine göre bir P noktasında kesişir. Bunu görmek çok zor değil. ∠C'PH + ∠C'PB' = 360 - (∠BAC + ∠ABC) olduğu için ∠B'PH = ∠BAC + ∠ABC = 180 - ∠ACH, dolayısıyla da B', C, H, P çembersel olur. Neyse...

BC'=AC'=HC' ve AB'=B'C=HB' eşitliklerini görmek zor değil. Bu durumda BC'H ve HB'C üçgenleri ikizkenar olur. Çevrel çemberlerin ikizkenar üçgenin yüksekliği olan çaplarını çizersek B'C'//BC olduğu için B'C' doğrusu bu iki çemberin ortak dış teğetidir. HP'nin B'C' doğru parçasını kestiği nokta Q olsun. Q noktasının çemberlere göre kuvveti QC'² = QP.QH = QB'² olduğu için QC' = QB' olur.