eşitsizlik

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$ pozitif reel sayılar ve  $a+b+c+abc = 4$ olmak üzere,

$\dfrac{a}{\sqrt{b+c}} + \dfrac{b}{\sqrt{a+c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$

olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

Hölder eşitsizliği yapalım İfademiz $\mathcal{S}$ olsun. Buradan;
$$ \mathcal{S}. \mathcal{S}. 2(ab+bc+ca) \ge (a+b+c)^3$$
elde edilir. İsteneni elde edebilmek için $(a+b+c)^3 \ge \frac{1}{2}(a+b+c)^2.2(ab+bc+ca)$ yani $a+b+c \ge ab+bc+ca$ olduğunu göstermeliyiz. Varsayalım ki $ab+bc+ca > a+b+c$ olsun. Çelişki elde etmeliyiz. $abc \le 1$ olduğu açıktır. $a+b+c \ge 3$ olmalı. $ab+bc+ca > 3$ olmalı. İyi bilinmesi gereken bir lemmadan;

$\textit{Lemma }$

$$1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc+2ca+2ab$$
olduğunu kanıtlayalım. Eğer ifadeyi düzenlersek;
 
$\left( a+b+c\right) \left( \left( 1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(2bc+2ca+2ab\right) \right)$ $=\left( \left( a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\right)-\left(bc^{2}+cb^{2}+ca^{2}+ac^{2}+ab^{2}+ba^{2}\right) \right) +a\left( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc\right)+b\left( ca^{2}+ac^{2}+1-3ca\right)+c\left( ab^{2}+ba^{2}+1-3ab\right)$ elde edilir.

$\textit{1. Kısım}$

$a\left( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc\right)+b\left( ca^{2}+ac^{2}+1-3ca\right)+c\left( ab^{2}+ba^{2}+1-3ab\right) \ge 0$ olduğunu gösterelim. $A.G.O$ dan $bc^{2}+cb^{2}+1 \ge 3bc$ olduğundan $a( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc) \ge 0$ elde edilir. Taraf tarafa toplanırsa $1. Kısım$ ispatlanır.

$\textit{2. Kısım}$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq bc^{2}+cb^{2}+ca^{2}+ac^{2}+ab^{2}+ba^{2}$ olduğunu kanıtlayalım. Bu ise Schur eşitsizliğinin $r=1$ durumudur. O halde bu kısım da doğrudur.


O zaman bu iki kısım toplanırsa $\textit{Lemma }$ ispatlanmış olur. Buradan $a+b+c=4-abc$ yerine koyalım. $12 \ge (abc-4)^2+2abc+1 \ge 4(ab+bc+ca)$ yani $3 \ge ab+bc+ca$ olmalı. Ancal bu da kabulle çelişir. O halde kabul yanlıştır ve $ab+bc+ca \le a+b+c$ idir. İspat biter.